Πολλαπλασιασμός πινάκων

Για τον πολλαπλασιασμό πινάκων, ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου πίνακα. Ο πίνακας που προκύπτει έχει το ίδιο πλήθος γραμμών με τον πρώτο πίνακα και τόσες στήλες όσες και ο δεύτερος πίνακας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, όπου $m$ οι γραμμές και $n$ οι στήλες του πρώτου πίνακα (Πρότυπο:Math), ενώ $p$ οι στήλες του δεύτερου πίνακα (Πρότυπο:Math), ισχύει ότι: $m\times n\cdot n\times p=m\times p$

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη γραμμική άλγεβρα, ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι μια δυαδική πράξη με την οποία δύο πίνακες συνδυάζονται για την παραγωγή ενός τρίτου πίνακα. Για τον πολλαπλασιασμό πινάκων, το πλήθος των στηλών του πρώτου πίνακα πίνακα πρέπει να είναι ίσο με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας, γνωστός και ως γινόμενο πινάκων, έχει τον αριθμό των σειρών του πρώτου και τον αριθμό των στηλών του δεύτερου πίνακα. Το γινόμενο των πινάκων Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math συμβολίζεται ως Πρότυπο:Math.

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι ένα βασικό εργαλείο της γραμμικής άλγεβρας με πολυάριθμες εφαρμογές σε πλήθος τομέων των μαθηματικών, όπως τα εφαρμοσμένα μαθηματικά και η στατιστική, αλλά και στη φυσική, τα οικονομικά και τη μηχανική. Ως τεχνική, χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Γάλλο μαθηματικό Ζακ Φιλίπ Μαρί Μπινέ (Jacques Philippe Marie Binet) το 1812 για την αναπαράσταση της σύνθεσης γραμμικών απεικονίσεων που αποδίδονταν με πίνακες. Ο υπολογισμός των γινομένων πινάκων είναι κομβική διαδικασία όλων των υπολογιστικών διαδικασιών της γραμμικής άλγεβρας.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, τα στοιχεία των πολλαπλασιαζόμενων πινάκων είναι αριθμοί, ωστόσο μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε είδος μαθηματικών αντικειμένων για τα οποία ορίζεται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός, ούτως ώστε να ισχύουν η αντιμεταθετική, η προσεταιριστική και η επιμεριστική ιδιότητα.

Συμβολισμοί

Για αυτό το άρθρο χρησιμοποιούνται συγκεκριμένες συμβολικές συμβάσεις. Καταρχάς, οι πίνακες συμβολίζονται με έντονα κεφαλαία γράμματα, π.χ. Πρότυπο:Math. Ακόμα, τα διανύσματα αποδίδονται με έντονους πεζούς χαρακτήρες, π.χ. Πρότυπο:Math, και οι τιμές που καταχωρούνται στους πίνακες ή τα διανύσματα συμβολίζονται με πλάγια γράμματα, π.χ. Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Το στοιχείο της σειράς Πρότυπο:Mvar και στήλης Πρότυπο:Mvar ενός πίνακα Πρότυπο:Math συμβολίζεται με Πρότυπο:Math, ή Πρότυπο:Math, ή Πρότυπο:Math . Τέλος, με μονό δείκτη συμβολίζονται οι διάφοροι πίνακες, π.χ Πρότυπο:Math.

Ορισμός

Έστω Πρότυπο:Math ένας πίνακας Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math ένας πίνακας Πρότυπο:Math ,

$𝐀=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),𝐁=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1p}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{np}\end{array}\right)$

Τότε, το γινόμενο πινάκων, Πρότυπο:Math, (συμβολίζεται χωρίς σημεία πολλαπλασιασμού) ορίζεται ως ο πίνακας Πρότυπο:Math

$𝐂=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1p}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{m1}& c_{m2}& \cdots & c_{mp}\end{array}\right)$

ούτως ώστε να ισχύει ότι

$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj},$

για Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math .

Συνεπώς, το στοιχείο $c_{ij}$ του γινομένου προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό όρου με όρο των τιμών της $i$-οστής σειράς Πρότυπο:Math με της τιμές της $j$-οστής στήλης του Πρότυπο:Math, και το άθροισμα των Πρότυπο:Mvar αυτών γινομένων. Με άλλα λόγια, το $c_{ij}$ είναι το εσωτερικό γινόμενο της $i$-οστής σειράς Πρότυπο:Math επί τη $j$-οστή στήλη του Πρότυπο:Math.

Επομένως, το Πρότυπο:Math μπορεί επίσης να γραφτεί ως

$𝐂=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{b}_{11}+\cdots +a_{1n}{b}_{n1}& a_{11}{b}_{12}+\cdots +a_{1n}{b}_{n2}& \cdots & a_{11}{b}_{1p}+\cdots +a_{1n}{b}_{np}\\ a_{21}{b}_{11}+\cdots +a_{2n}{b}_{n1}& a_{21}{b}_{12}+\cdots +a_{2n}{b}_{n2}& \cdots & a_{21}{b}_{1p}+\cdots +a_{2n}{b}_{np}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}+\cdots +a_{mn}{b}_{n1}& a_{m1}{b}_{12}+\cdots +a_{mn}{b}_{n2}& \cdots & a_{m1}{b}_{1p}+\cdots +a_{mn}{b}_{np}\end{array}\right)$

Άρα, το γινόμενο Πρότυπο:Math ορίζεται αν και μόνο αν ο αριθμός των στηλών του Πρότυπο:Math ισούται με τον αριθμό των γραμμών του Πρότυπο:Math (εδώ Πρότυπο:Math).

Πρακτική επεξήγηση

Πρακτική επεξήγηση του πολλαπλασιασμού πινάκων· τα στοιχεία που σημειώνονται με χρωματιστούς κύκλους προκύπτουν από το εσωτερικό γινόμενο των αντίστοιχων γραμμών του πρώτου και στηλών του δεύτερου πίνακα

Το σχήμα στα δεξιά απεικονίζει διαγραμματικά το γινόμενο δύο πινάκων Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, δείχνοντας πώς κάθε στοιχείο του πίνακα που προκύπτει αντιστοιχεί σε μια γραμμή του Πρότυπο:Math και μια στήλη του Πρότυπο:Math . Το αντίστοιχο του σχήματος με όρους γραμμικής άλγεβρας δίνεται ως εξής:

$$\stackrel{4\times 2\text{ matrix}}{\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ \cdot & \cdot \\ a_{31}& a_{32}\\ \cdot & \cdot \end{array}\right]}\stackrel{2\times 3\text{ matrix}}{\left[\begin{array}{ccc}\cdot & b_{12}& b_{13}\\ \cdot & b_{22}& b_{23}\end{array}\right]}=\stackrel{4\times 3\text{ matrix}}{\left[\begin{array}{ccc}\cdot & c_{12}& c_{13}\\ \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & c_{32}& c_{33}\\ \cdot & \cdot & \cdot \end{array}\right]}$$

Τα στοιχεία που σημειώνονται με κύκλους στο σχήμα προκύπτουν από το εσωτερικό γινόμενο των αντιστοίχων γραμμών του Πρότυπο:Math [$(a_{11},a_{12}),(a_{31},a_{32})$] και στηλών του Πρότυπο:Math [$(b_{12},b_{22}{)}^T,(b_{13},b_{23}{)}^T$]:

$$\begin{array}{cc}{c}_{12}& =a_{11}{b}_{12}+a_{12}{b}_{22}\\ c_{33}& =a_{31}{b}_{13}+a_{32}{b}_{23}\end{array}$$

Δείτε επίσης

• Διανυσματικό γινόμενο