Μοναδιαίο διάνυσμα

Στην γραμμική άλγεβρα, μοναδιαίο διάνυσμα είναι κάθε διάνυσμα με μήκος (ή νόρμα) την μονάδα $1$, δηλαδή κάθε διάνυσμα $𝐮$ με $\Vert 𝐮\Vert =1$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Για παράδειγμα, το διάνυσμα ${𝐮}_1=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$ που έχει Ευκλείδειο μήκος $\Vert {𝐮}_1\Vert =\frac{3^2}{5^2}+\frac{4^2}{5^2}=\frac{5^2}{5^2}=1$.

Για κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα $𝐮$, το κανονικοποιημένο του μοναδιαίο διάνυσμα είναι το διάνυσμα $\frac{𝐮}{\Vert 𝐮\Vert }$, το οποίο είναι παράλληλο στο $𝐮$.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

Παραδείγματα

Παραδείγματα μοναδιαίων διανυσμάτων στο ${ℝ}^2$. Όλα ανήκουν στον κύκλο με κέντρο $(0,0)$ και ακτίνα $1$.

• Το διάνυσμα ${𝐮}_3=(\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3})\in {ℝ}^3$, καθώς έχει Ευκλείδειο μήκος $\Vert {𝐮}_3\Vert =\frac{2^2}{3^2}+\frac{1^2}{3^2}+\frac{2^2}{3^2}=1$.
• Το διάνυσμα ${𝐮}_4=(\frac{2}{5},\frac{4}{5},\frac{1}{5},\frac{2}{5})\in {ℝ}^3$, καθώς έχει Ευκλείδειο μήκος $\Vert {𝐮}_4\Vert =\frac{2^2}{5^2}+\frac{4^2}{5^2}+\frac{1^2}{5^2}+\frac{2^2}{5^2}=1$.
• Στο ${ℝ}^2$ κάθε διάνυσμα ανήκει στον μοναδιαίο κύκλο. Αυτό ισχύει γιατί ένα διάνυσμα $𝐯=(x,y)\in {ℝ}^2$ είναι μοναδιαίο αν και μόνο αν $\Vert 𝐯\Vert =x^2+y^2=1$, δηλαδή αν και μόνο αν ανήκει στον κύκλο με κέντρο $(0,0)$ και ακτίνα $1$.
• Για κάθε φυσικό αριθμό $n\in \mathbb{N}$, το διάνυσμα ${𝐮}_n=(\frac{1}{\sqrt{n}},\dots ,\frac{1}{\sqrt{n}})\in {ℝ}^n$ είναι μοναδιαίο καθώς

$\Vert {𝐮}_n\Vert ={\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}^2=n\cdot \frac{1}{n}=1$.

• Τα διανύσματα ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n$ της κανονικής βάσης του ${ℝ}^n$ είναι μοναδιαία, καθώς έχουν μήκος $\Vert {𝐞}_i\Vert =1$ για κάθε $1\le i\le n$. Πιο γενικά, τα διανύσματα κάθε ορθοκανονικής βάσης είναι μοναδιαία.