Κυκλοτομικό σώμα

Πρότυπο:Πηγές Ως m-οστό κυκλοτομικό σώμα ($m^{th}$ cyclotomic field) ορίζουμε το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας στο $\mathbb{Q}$ μια πρωταρχική m-οστή ρίζα της μονάδας ,δηλαδή είναι της μορφής $\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi ki}{m}})$ με $(k,m)=1$.Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις m-οστές ρίζες της μονάδας και είναι το σώμα ριζών (spliting field) του m-οστού κυκλοτομικού πολυωνύμου.Ακόμα ισχύει ότι $[\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi ki}{m}}):\mathbb{Q}]=\varphi (m)$ όπου $(k,m)=1$ και $\mathcal{\varphi }$ η αριθμητική συνάρτηση του Euler.

Παράδειγμα

• Στην περίπτωση που m=p πρώτος έχουμε ότι το p-οστό κυκλοτομικό σώμα είναι το $\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}})$ και επιπλέον ότι $Irr(e^{\frac{2\pi i}{m}},\mathbb{Q})=t^{p-1}+t^{p-2}+..+t+1$ οπότε $[\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi i}{m}}):\mathbb{Q}]=p-1=\varphi (p)$.