Ελάχιστο πολυώνυμο

Πρότυπο:Πηγές Πρότυπο:Μορφοποίηση Έστω $𝐿:𝐾$ επέκταση σωμάτων και ένα στοιχείο $a\in L$ αλγεβρικό επί του $𝐾$. Ως ελάχιστο πολυώνυμο του $a$ επί του $𝐾$ (minimum polynomial of a over K) ορίζουμε το μοναδικό μονικό πολυώνυμο $m(t)\in 𝐾[t]$ ελαχίστου βαθμού για το οποίο ισχύει $m(a)=0$.

Παράδειγμα

• Το $i\in ℂ$ είναι αλγεβρικό στοιχείο επί του $ℝ$ καθως είναι ρίζα του $p(t)=t^2+1\in ℝ[t]$ το οποίο είναι και το ελάχιστο πολυώνυμο του i επι του $ℝ$.Πράγματι αν υπήρχε μονικό πολυώνυμο μικροτέρου βαθμού στο $ℝ[t]$ με $n(i)=0$ τότε επειδή $degn<degm=2$ το $n(t)$ θα ήταν της μορφής $n(t)=t+q$ από το οποίο έπεται ότι $i\in ℝ$ άτοπο.