Γραμμική απεικόνιση

Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων $V$ και $W$ επί του σώματος $F$ είναι μία συνάρτηση $T:V\to W$ η οποία ικανοποιεί

• $T(u+v)=T(u)+T(v)$, για κάθε $u,v\in V$, και
• $T(\alpha u)=\alpha T(u)$, για κάθε $u\in V$ και $\alpha \in F$.

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση

$T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$, για κάθε $u,v\in V$ και $\alpha ,\beta \in F$.

Αν οι διανυσματικοί χώροι $V$ και $W$ ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.

Ιδιότητες

Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση $T:U\to W$:

• $T(0_U)=0_W$.

• Για οποιαδήποτε $n$ διανύσματα $u_1,u_2,\dots ,u_n\in V$ και σταθερές ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\in F$, ισχύει ότι

$T({\alpha }_1{u}_1+\dots +{\alpha }_n{u}_n)={\alpha }_{1}T(u_1)+\dots +{\alpha }_{n}T(u_n)$.

Παραδείγματα

• Η συνάρτηση $T(u)=c\cdot u$ για $u\in F$ είναι γραμμική.
• Η μηδενική συνάρτηση $T(u)=0_W$ είναι γραμμική.
• Για κάθε πίνακα $A\in R^{n\times n}$ η συνάρτηση $T(u)=Au$ είναι γραμμική (για $U=W={ℝ}^n$).
• Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση

$T(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$

είναι γραμμική.

• Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων $C(ℝ)$ η συνάρτηση

$T(f)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}f(t)$

είναι γραμμική.

Πίνακας μετασχηματισμού

Σε κάθε διανυσματικό χώρο $U$ πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα.

Έστω $b_1,\dots ,b_n$ μία βάση του διανυσματικού χώρου $U$. Τότε κάθε διάνυσμα $u\in U$ μπορεί να γραφτεί ως

$u=u_1{b}_1+\dots +u_n{b}_n$,

για κάποια $b_1,\dots ,b_n\in F$. Επομένως για έναν μετασχηματισμό $T:U\to W$ έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι

$T(u)=T(u_1{b}_1+\dots +u_n{b}_n)=u_{1}T(b_1)+\dots +u_{n}T(b_n)$.

Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων

$\left[\begin{array}{ccc}\uparrow & & \uparrow \\ T(b_1)& \cdots & T(b_n)\\ \downarrow & & \downarrow \end{array}\right]\cdot 𝐮.$

Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα $T(b_1),\dots ,T(b_n)\in W$ δεν εξαρτώνται από το $u$, επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό $T$. Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του $U$.

Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή

Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία $\theta$ από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης

$\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}.$

Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι

$\begin{array}{cc}T(0)& \mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ),\\ T(1)& \mapsto (-\sin \theta ,\cos \theta ).\\ \end{array}$

Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από

$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\uparrow & \uparrow \\ T(e_1)& T(e_2)\\ \downarrow & \downarrow \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].$