Σύνθεση σχέσεων

Στα μαθηματικά, η σύνθεση σχέσεων είναι ένας τρόπος με τον οποίο σχηματίζουμε μια νέα σχέση από δύο δεδομένες σχέσεις $R$ και $S$ και την οποία συμβολίζουμε με $S\circ R$.Πρότυπο:Rp Ειδική κατηγορία σύνθεσης σχέσεων είναι η σύνθεση συναρτήσεων.

Ορισμός

Αν $R\subseteq X\times Y$ και $S\subseteq Y\times Z$ είναι δύο διμελείς σχέσεις, τότε η σύνθεση τους $S\circ R$ είναι η σχέση:

$S\circ R=\{(x,z)\in X\times Z\mid \mathrm{\exists }y\in Y:(x,y)\in R,(y,z)\in S\}\subseteq X\times Z$.

Με άλλα λόγια η σχέση $S\circ R$ είναι η σχέση στην οποία ανήκουν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη $(x,z)$ για τα οποία ισχύει το εξής: υπάρχει $y$ στο $Y$ τέτοιο ώστε το $(x,y)$ να ανήκει στη $R$ και το $(y,z)$ να ανήκει στη $S$.

Ιδιότητες

Η σύνθεση σχέσεων ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:Πρότυπο:R

• Είναι προσεταιριστική, δηλαδή $(R_1\circ R_2)\circ R_3=R_1\circ (R_2\circ R_3)$.

• Η αντίστροφη σχέση της $S\circ R$ είναι η σχέση $(S\circ R{)}^{-1}=R^{-1}\circ S^{-1}$.

• Η σύνθεση μερικών συναρτήσεων είναι μερική συνάρτηση.
• Η σύνθεση επί σχέσεων, είναι επί σχέση.
• Η σύνθεση ένα προς ένα σχέσεων, είναι ένα προς ένα.

Παραπομπές

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση