Κατανομή Ραντεμάχερ

Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Ραντεμάχερ

Κατανομή Rademacher

Φορέας	$x\in \{-1,+1\}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	$\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \text{αν }x=-1\\ \frac{1}{2}& \text{αν }x=+1\end{array}$
Μέσος	$0$
Διάμεσος	$[-1,+1]$
Διακύμανση	$1$
Λοξότητα	$0$
Κύρτωση	$1$
Εντροπία	$1$
Ροπή	$\mathrm{E}[X^k]=\{\begin{array}{cc}1& \text{αν }k\text{ ζυγός},\\ 0& \text{αν }k\text{ μονός}.\end{array}$
Πιθανογεννήτρια	$\frac{1}{2}\cdot t^{-1}+\frac{1}{2}\cdot t^{+1}$
Χαρακτηριστική	$\cosh (t)$

Η κατανομή Ραντεμάχερ είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας $1/2$.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X$ που παίρνει τιμές $-1$ ή $+1$, δηλαδή $X\in \{-1,+1\}$. Για $X=+1$ έχουμε επιτυχία και για $X=-1$ αποτυχία. Λέμε ότι η $X$ ακολουθεί την κατανομή Rademacher αν:Πρότυπο:Rp

$\mathrm{P}(X=+1)=\frac{1}{2}$ και

$\mathrm{P}(X=-1)=\frac{1}{2}$.

Αν η τυχαία μεταβλητή $Y$ ακολουθεί την κατανομή Rademacher με παράμετρο $p$, τότε η $X=\frac{Y+1}{2}$ ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με παράμετρο $p=1/2$.

Αναμενόμενη τιμή

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

$\mathrm{E}[X]=\frac{1}{2}\cdot (+1)+\frac{1}{2}\cdot (-1)=0.$

Διακύμανση

Χρησιμοποιώντας ότι $X=2Y-1$ για $Y\sim 𝖡𝖾𝗋(1/2)$, έχουμε ότι

$\mathrm{V}[X]=\mathrm{V}[2Y-1]=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=1.$

Λοξότητα

Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:

${\gamma }_1=\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sigma }\right)}^3\right].$

Επομένως από την λοξότητα για την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι

$\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sigma }\right)}^3\right]=\mathrm{E}\left[{\left(\frac{2\cdot (Y-\mathrm{E}[Y])}{2{\sigma }_Y}\right)}^3\right]=\mathrm{E}\left[{\left(\frac{Y-\mathrm{E}[Y]}{{\sigma }_Y}\right)}^3\right]=\frac{1-2\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}=0.$

Κύρτωση

Αντίστοιχα με την λοξότητα, από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:

$\begin{array}{c}\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sigma }\right)}^4\right]=\mathrm{E}\left[{\left(\frac{2\cdot (Y-\mathrm{E}[Y])}{2\cdot {\sigma }_Y}\right)}^4\right]=\mathrm{E}\left[{\left(\frac{Y-\mathrm{E}[Y]}{{\sigma }_Y}\right)}^4\right]=\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}-3=1.\end{array}$

Ροπές

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε μονό $k\in \mathbb{N}$:

$\mathrm{E}[X^k]=\frac{1}{2}\cdot (-1{)}^k+\frac{1}{2}\cdot (+1{)}^k=0.$

Για κάθε ζυγό $k\in \mathbb{N}$ έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[X^k]=\frac{1}{2}\cdot (-1{)}^k+\frac{1}{2}\cdot (+1{)}^k=1.$

Εντροπία

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[-{\log }_{2}X]=-\frac{1}{2}\cdot {\log }_2\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot {\log }_2\left(\frac{1}{2}\right)=1.$

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

$G_X(t)=\mathrm{E}[t^X]=\frac{1}{2}\cdot t^{-1}+\frac{1}{2}\cdot t^{+1}.$

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

$\mathrm{E}[e^{tX}]=\frac{1}{2}\cdot e^t+\frac{1}{2}\cdot e^{-t}=\cosh (t).$

Δείτε επίσης

• Δείκτρια τυχαία μεταβλητή
• Διωνυμική κατανομή
• Κατανομή Μπερνούλλι