Διακριτή ομοιόμορφη κατανομή

Παραδείγματα ομοιόμορφης διακριτής κατανομής.

Παραδείγματα αθροιστικής κατανομής.

Διακριτή Ομοιόμορφη Κατανομή

Συμβολισμός	$𝖴\{a,b\}$
Παράμετροι	$a,b\in \mathbb{Z}$ με $b\ge a$ $n=b-a+1$
Φορέας	$x\in \{a,a+1,\dots ,b\}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	$\frac{1}{n}$
Μέσος	$\frac{a+b}{2}$
Διάμεσος	$\frac{a+b}{2}$
Διακύμανση	$\frac{n^2-1}{12}$
Λοξότητα	$0$
Κύρτωση	$-\frac{6\cdot (n^2+1)}{5\cdot (n^2-1)}-3$
Εντροπία	${\log }_{2}n$
Πιθανογεννήτρια	$\frac{1}{n}\cdot \frac{t^b-t^a}{t-1}$
Χαρακτηριστική	$\frac{1}{n}\cdot \frac{e^{tb}-e^{ta}}{e^t-1}$

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η διακριτή ομοιόμορφη κατανομή $𝒰\{a,b\}$ είναι μία διακριτή συνάρτηση κατανομής που περιγράφει το αποτέλεσμα της ομοιόμορφης δειγματοληψίας ενός τυχαίου αριθμού από το σύνολο $\{a,a+1,\dots ,b\}$.

Για παράδειγμα, η ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού μοντελοποιείται ως $𝒰\{1,6\}$, δηλαδή κάθε ένα από αποτελέσματα $\{1,2,3,4,5,6\}$ έχουν ίση πιθανότητα ($1/6$) να βγουν. Αντίστοιχα, το στρίψιμο ενός νομίσματος μπορεί να μοντελοποιηθεί από την $𝒰\{0,1\}$ και ο νικητήριος αριθμός του λαχνού.

Ορισμός

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της $X\sim 𝒰\{a,b\}$, δίνεται από την

$p_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n}& \text{αν }a\le x\le b,\\ 0& \text{διαφορετικά}.\end{array}$

Μέση τιμή

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[X]=\sum _{x=a}^b\frac{1}{n}\cdot x& =\frac{1}{n}\cdot (\frac{b\cdot (b+1)}{2}-\frac{a\cdot (a-1)}{2})\\ & =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{b^2-a^2+b+a}{2}\right)\\ & =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{(b-a)\cdot (b+a+1)}{2}\right)\\ & =\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{(b-a+1)\cdot (b+a)}{2}\right)\\ & =\frac{(b+a)}{2},\end{array}$

χρησιμοποιώντας ότι ${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{1}{2}n\cdot (n+1)$.

Διακύμανση

Για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης, θα υπολογίσουμε την διακύμανση για την μεταβλητή $Y=X-a+1$ και θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα,

$\mathrm{V}[Y]=\mathrm{V}[X-a+1]=\mathrm{V}[X],$

και τον ορισμό

$\mathrm{V}[Y]=\mathrm{E}[Y^2]-(\mathrm{E}[Y]{)}^2.$

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[Y^2]=\sum _{y=1}^n\frac{1}{n}\cdot y^2=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{6}n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)=\frac{1}{6}(n+1)\cdot (2n+1),$

χρησιμοποιώντας ότι ${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{6}n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)$. Επομένως,

$\mathrm{V}[Y]=\frac{1}{6}(n+1)\cdot (2n+1)-\frac{1}{4}(n+1{)}^2=\frac{n+1}{2}\cdot \frac{n-1}{4}=\frac{n^2-1}{12}.$

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Για $t\ne 1$, έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[t^X]=\sum _{x=a}^b\frac{1}{n}\cdot t^x=\frac{1}{n}\cdot \frac{t^b-t^a}{t-1},$

χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου.

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Για $t\ne 0$, έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[e^{tx}]=\sum _{x=a}^b\frac{1}{n}\cdot e^{tx}=\frac{1}{n}\cdot \frac{e^{tb}-e^{ta}}{e^t-1},$

χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου.

Εντροπία

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[-{\log }_{2}X]=\sum _{x=a}^b-\frac{1}{n}\cdot {\log }_2\left(\frac{1}{n}\right)=-n\cdot \frac{1}{n}\cdot {\log }_2\left(\frac{1}{n}\right)={\log }_{2}n.$

Αυτή η κατανομή μεγιστοποιεί την εντροπία σε σχέση με όλες τις διακριτές κατανομές σε $n$ στοιχεία.

Δείτε επίσης

• Κατανομή Μπερνούλλι — Ειδική περίπτωση της διακριτής ομοιόμορφης κατανομής με δύο στοιχεία
• Ομοιόμορφη κατανομή (συνεχής) — Συνεχής εκδοχή της ομοιόμορφης κατανομής