Ταυτοδύναμος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας $A$ λέγεται ταυτοδύναμος (ή αδύναμος) όταν

$A^2=A$.

Οι ταυτοδύναμοι πίνακες αντιστοιχούν σε γραμμικούς μετασχηματισμούς που είναι προβολές. Αυτό σημαίνει ότι το να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό πάνω από μία φορά είναι ισοδύναμο με το να τον εφαρμόσουμε μία φορά.

Παραδείγματα

• Ο ταυτοτικός πίνακας είναι ταυτοδύναμος, καθώς $I^2=I\cdot I=I$. Το ίδιο και ο μηδενικός καθώς $0^2=0\cdot 0=0$.
• Μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα ταυτοδύναμων πινάκων είναι

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ -10& -4\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\end{array}\right].$

• Πιο γενικά, ένας πίνακας $A$ διαστάσεων $2\times 2$ είναι ταυτοδύναμος αν έχει την μορφή

$A=\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right]$ για $a,d\in \{0,1\}$ ή $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1-a\end{array}\right]$ και $a^2-a=-bc$.

Ιδιότητες

• Για κάθε $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, $A^n=A$.
• Κάθε ιδιοτιμή ενός ταυτοδύναμου πίνακα είναι είτε $0$ ή $1$.

• Το ίχνος ενός ταυτοδύναμου πίνακα $A$ είναι φυσικός αριθμός.

• Η ορίζουσα $\det (A)$ ενός ταυτοδύναμου πίνακα $A$ είναι είτε $0$ είτε $1$.

• Ένας πίνακας $A$ είναι ταυτοδύναμος ανν o $I-A$ είναι ταυτοδύναμος.

Εφαρμογές

Γραμμική Παλινδρόμιση

Στο πρόβλημα της γραμμικής παλινδρόμισης δοσμένων $X$ και $y$ καλούμαστε να βρούμε το $\beta$ ώστε να ελαχιστοποιήσουμε την παράσταση

$(y-X\beta {)}^T(y-X\beta )$.

Το βέλτιστο $\beta$ δίνεται από τον τύπο

$\hat{\beta }=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$

με βέλτιστη τιμή είναι ${\hat{e}}^T\hat{e}$ όπου

$\hat{e}=y-X\hat{\beta }=(I-X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T)y$.

Ο πίνακας $M=I-X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T$ είναι ταυτοδύναμος και επομένως ${\hat{e}}^T\hat{e}=y^{T}My$,

$\begin{array}{cc}{M}^2& =(I-X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T)\cdot (I-X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T)\\ & =I-2X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T+X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T\\ & =I-X(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T\\ & =M.\end{array}$