Τύποι του Βιετά

Στα μαθηματικά, οι τύποι του Βιετά είναι μαθηματικοί τύποι που εκφράζουν τους συντελεστές ενός πολυωνύμου ως άθροισμα γινομένων των ριζών του. Για παράδειγμα, για το τριώνυμο

$a{x}^2+bx+c=0$,

ισχύει ότι,

$r_1+r_2=-\frac{b}{a}$ και $r_1\cdot r_2=\frac{c}{a}$.

Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον Φραγκίσκο Βιετά.

Γενικοί τύποι

Σε ένα πολυώνυμο βαθμού $n$, $f(x)=a_n{x}^n+\dots a_{1}x+a_0$ με ρίζες $r_1,\dots ,r_n$ έχουμε ότιΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\begin{array}{cc}\frac{a_{n-1}}{a_n}& =-(r_1+\dots +r_n)\\ \frac{a_{n-2}}{a_n}& =((r_1{r}_2+r_1{r}_3+\dots +r_1{r}_n)+(r_2{r}_3++\dots +r_2{r}_n)\dots +r_{n-1}{r}_n)\\ & ⋮\\ \frac{a_0}{a_n}& =(-1{)}^n\cdot r_1\cdot \dots \cdot r_n.\end{array}$

Πιο συμπυκνωμένα, μπορεί να γραφτεί ως

$\frac{a_{n-k}}{a_n}=(-1{)}^k\cdot \sum _{1\le i_1\le i_2\le \dots \le i_k\le n}\prod _{j=1}^k{r}_{i_j},$

όπου το άθροισμα είναι σε ακολουθίες μεγέθους $k$.

Τριώνυμο

Θεωρούμε το τριώνυμο $f(x)=a{x}^2+bx+c$ και έστω $r_1$ και $r_2$ οι ρίζες του. Τότε,

$f(x)=a\cdot (x-r_1)\cdot (x-r_2)a\cdot (x^2-(r_1+r_2)\cdot x+r_1{r}_2)$,

και ισχύει ότι

$b=-a\cdot (r_1+r_2)$ και $c=a\cdot r_1{r}_2$.

Παράδειγμα 1ο

Το τριώνυμο $f(x)=x^2+4x-5$, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως $f(x)=(x+5)\cdot (x-1)$ επομένως οι ρίζες του είναι $r_1=-5$ και $r_2=1$. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

$f(x)=x^2-(-5+1)x+(-5)\cdot (1)$.

Παράδειγμα 2ο

Το τριώνυμο $f(x)=2x^2-14x+24$, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως $f(x)=2\cdot (x-3)\cdot (x-4)$ επομένως οι ρίζες του είναι $r_1=3$ και $r_2=4$. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

$f(x)=2x^2-2\cdot (r_1+r_2)x+2\cdot (r_1\cdot r_2)$.

Τριτοβάθμιο πολυώνυμο

Θεωρούμε το τριτοβάθμιο πολυώνυμο $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ και έστω $r_1$, $r_2$, $r_3$ οι ρίζες του. Τότε

$f(x)=a\cdot (x-r_1)\cdot (x-r_2)\cdot (x-r_3)$.

Επεκτείνοντας το γινόμενο,

$\begin{array}{cc}f(x)& =a\cdot (x-r_1)\cdot (x-r_2)\cdot (x-r_3)\\ & =a\cdot (x^2-(r_1+r_2)\cdot x+r_1{r}_2)\cdot (x-r_3)\\ & =a\cdot (x^3-(r_1+r_2+r_3)\cdot x^2+(r_1{r}_2+r_2{r}_3+r_1{r}_3)\cdot x-r_1{r}_2{r}_3).\end{array}$

Από αυτό προκύπτει ότι

$\frac{b}{a}=-(r_1+r_2+r_3)$, $\frac{c}{a}=r_1{r}_2+r_2{r}_3+r_1{r}_3$ και $\frac{d}{a}=r_1{r}_2{r}_3$.

Παράδειγμα

Το πολυώνυμο $f(x)=x^3-4x^2+x+6$ παραγοντοποιείται ως $f(x)=(x+1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)$ και επομένως οι ρίζες του είναι $r_1=-1$, $r_2=2$ και $r_3=3$. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

$f(x)=x^3-(-1+2+3)\cdot x^2+((-1)\cdot 2+2\cdot 3+(-1)\cdot 3)\cdot x-(-1)\cdot 2\cdot 3$.

Δείτε επίσης

• Τριώνυμο
• Πολυώνυμο

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal