Θεώρημα Μπεζού (πολυώνυμα)

Στην άλγεβρα, το θεώρημα Μπεζού για τα πολυώνυμα είναι μία ειδική περίπτωση του θεωρήματος διαίρεσης για τα πολυώνυμα, όπου ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού.

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο

Έστω το πολυώνυμο $P(x)=x^4-9x^2+2x-2$ και $Q(x)=x-3$. Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P$ με το $Q$ είναι $P(3)=4$.

Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι

$P(x)=(x-3)\cdot (x^3+3x^2+2)+4,$

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με $P(3)=4$.

Παράδειγμα 2ο

Έστω το πολυώνυμο $P(x)=3x^4+2x+5$ και $Q(x)=x-2$. Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P$ με το $Q$ είναι $P(2)=7$.

Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι

$P(x)=(x-2)\cdot (3x^4+2x+5)+7,$

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με $P(2)=7$.

Παράδειγμα 3ο

Έστω το πολυώνυμο $P(x)=x^n-y^n$. Τότε, από τις ιδιότητες της παραγοντοποίησης έχουμε ότι

$P(x)=(x-y)\cdot (x^{n-1}+y{x}^{n-2}+\dots +y^{n-2}x+y^{n-1}),$

και έπεται ότι το υπόλοιπο με την διαίρεση με το $Q(x)=x-y$ είναι μηδέν (που είναι ίσο με $P(y)=0$).

Αποδείξεις

Με Θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων

Το θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων λέει ότι για τα πολυώνυμα $P(x)$ και $Q(x)$ υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα $\mathrm{\Pi }(x)$ και $R(x)$ με $\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(Q)$, τέτοια ώστε

$P(x)=\mathrm{\Pi }(x)\cdot Q(x)+R(x).$

Επομένως, όταν το $Q(x)=x-r$, τότε έχουμε ότι

$P(x)=\mathrm{\Pi }(x)\cdot (x-r)+R.$

Για $x=r$, λαμβάνουμε ότι $P(r)=R$.

Με ταυτότητα διαφοράς δυνάμεων

Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα για κάθε $x,y\in ℝ$ και $r\in \mathbb{N}$,

$x^r-y^r=(x-y)\cdot (x^{r-1}+y{x}^{r-2}+\dots +y^{r-2}x+y^{r-1})$.

και θα γράψουμε $S_r=x^{r-1}+y{x}^{r-2}+\dots +y^{r-2}x+y^{r-1}$. Επομένως,

$\begin{array}{cc}P(x)-P(r)& =(a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0)-(a_n{r}^n+\dots +a_{1}r+a_0)\\ & =a_n\cdot (x^n-r^n)+\dots +a_1\cdot (x-r)\\ & =a_n\cdot (x-r)\cdot S_n+\dots +a_1\cdot (x-r)\cdot S_1\\ & =(x-r)\cdot (a_n{S}_n+\dots +a_1{S}_1).\end{array}$

Επομένως,

$P(x)=(x-r)\cdot (a_n{S}_n+\dots +a_1{S}_1)+P(r),$

που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι $P(r)$.

Συνέπειες

Το παρακάτω πόρισμα προκύπτει από το γεγονός ότι $P(r)=0$ ανν το $r$ είναι ρίζα.

Δείτε επίσης

• Πολυώνυμο
• Θεώρημα διαίρεσης για πολυώνυμα