Άθροισμα δύο κύβων

Στα μαθηματικά, το άθροισμα δύο κύβων είναι το άθροισμα ενός αριθμού που είναι κύβος με έναν άλλον κύβο.

Παραγοντοποίηση

Αρχείο:Sum and difference of 2 cubes.svg

Οπτική απόδειξη για την παραγοντοποίηση του αθροίσματος (και της διαφοράς) κύβων.

Το άθροισμα δύο κύβων $x^3$ και $y^3$ μπορεί να γραφτεί ωςΠρότυπο:Rp

$x^3+y^3=(x+y)\cdot (x^2-xy+y^2)$.

Απόδειξη: Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι

$(x+y)\cdot (x^2-xy+y^2)=x^3-x^{2}y+x{y}^2+y{x}^2-x{y}^2+y^3=x^3+y^3,$

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Διαφορά κύβων

Θέτοντας $y^{\prime }=-y$ στον τύπο για το άθροισμα κύβων λαμβάνουμε ότι

$x^3+(-y{)}^3=(x+(-y))\cdot (x^2-x\cdot (-y)+(-y{)}^2),$

ή ισοδύναμα

$x^3-y^3=(x-y)\cdot (x^2+xy+y^2).$

Θεωρητικές εφαρμογές

Ακέραιοι εκφράσιμοι ως το άθροισμα κύβων

Στην θεωρία αριθμών από την εποχή του Διόφαντου έχει μελετηθεί ποιοι ακέραιοι αριθμοί $z\in \mathbb{Z}$ μπορούν να γραφούν ως το άθροισμα δύο κύβων.

Αριθμοί των Ταξί

Πρότυπο:Κύριο Οι αριθμοί των Ταξί $\mathrm{Ta}(n)$ είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα $n$ κύβων. Για παράδειγμα, to $1729$, μπορεί να γραφτεί ως

$1729=1^2+12^3=9^3+10^3$,

και είναι ο μικρότερος τέτοιος αριθμός για $n=2$. Για $n=3$, ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι ο $87.539.319$, που μπορεί να γραφτεί ως

$87.539.319=436^3+167^3=423^3+228^3=414^3+255^3$.

Τέλειες δυνάμεις

Στην θεωρία αριθμών έχει μελετηθεί ποια αθροίσματα κύβων είναι τέλειες δυνάμεις, δηλαδή για ποιους ακεραίους $x$, $y$ και $z$ ισχύει ότι

$x^3=y^3=z^p$,

για κάποιον φυσικό αριθμό $p$.