Πρώτο θεώρημα διαμέσων

Διάμεσος $\mathrm{A}\mathrm{M}$ του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm{A}$ (και $\mathrm{M}$ το μέσο της $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$).

Στην γεωμετρία, το πρώτο θεώρημα διαμέσων (ή Απολλώνιο θεώρημα ή θεώρημα Απολλωνίου) ονομάζεται το θεώρημα που σχετίζει τα τετράγωνα των πλευρών ενός τριγώνου και το τετράγωνο της διαμέσου. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με διάμεσο την $\mathrm{A}\mathrm{M}$, ισχύει ότιΠρότυπο:RpΠρότυπο:RΠρότυπο:Rp

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2=2\cdot {\mathrm{A}\mathrm{M}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2$.

Το θεώρημα αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος Στιούαρτ. Πρότυπο:Clear

Πορίσματα

• Τα μήκη των διαμέσων ενός τριγώνου δίνονται από τις σχέσεις

${\mu }_{\mathrm{A}}=\frac{1}{2}\sqrt{2{\beta }^2+2{\gamma }^2-{\alpha }^2}$,

${\mu }_{\mathrm{B}}=\frac{1}{2}\sqrt{2{\alpha }^2+2{\gamma }^2-{\beta }^2}$,

${\mu }_{\mathrm{\Gamma }}=\frac{1}{2}\sqrt{2{\alpha }^2+2{\beta }^2-{\gamma }^2}$.

• Το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ως συνέπεια του πρώτου θεωρήματος διαμέσων αφού σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με $\hat{\mathrm{A}}=90^{\circ }$ ισχύει ότι $\mathrm{A}\mathrm{M}=\frac{1}{2}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, και επομένως

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2=2\cdot {\mathrm{A}\mathrm{M}}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2=\frac{1}{2}{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2+\frac{1}{2}{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2={\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2$.

• Ο νόμος του παραλληλογράμμου προκύπτει εφαρμόζοντας το πρώτο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ και χρησιμοποιώντας ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.
• Το θεώρημα Όιλερ για τα τετράπλευρα προκύπτει από τρεις εφαρμογές του πρώτου θεωρήματος διαμέσων.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Δεύτερο θεώρημα διαμέσων
• Θεώρημα Στιούαρτ
• Νόμος των συνημιτόνων
• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Θεώρημα του Όιλερ (τετράπλευρα)