Θεώρημα Καρνό (κάθετοι)

Το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.

Στη γεωμετρία, το θεώρημα Καρνό (αναφέρεται και ως θεώρημα Carnot) είναι μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και τα σημεία ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}$ οι τομές των τριών καθέτων με τις πλευρές του τριγώνου. Τότε, οι κάθετε συντρέχουν αννΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

${\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}}^2+{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2+{\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2={\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2+{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}}^2+{\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2.$

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λαζάρ Καρνό και είναι μία γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος.

Ευθύ

Έστω ένα σημείο $\mathrm{P}$ και οι προβολές του ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}$ επί των πλευρών του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}\mathrm{P}$, $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}\mathrm{P}$ και $\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{P}$, έχουμε ότι

$\begin{array}{cc}{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}}^2+{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2+{\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2& =({\mathrm{A}\mathrm{P}}^2-{\mathrm{P}{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}}^2)+({\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}^2-{\mathrm{P}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2)+({\mathrm{B}\mathrm{P}}^2-{\mathrm{P}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2)\\ & =({\mathrm{A}\mathrm{P}}^2-{\mathrm{P}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2)+({\mathrm{\Gamma }\mathrm{P}}^2-{\mathrm{P}{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}}^2)+({\mathrm{B}\mathrm{P}}^2-{\mathrm{P}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2)\\ & ={\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2+{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}}^2+{\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2,\end{array}$

χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{P}$, $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}\mathrm{P}$ και $\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}\mathrm{P}$.

Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος.

Αντίστροφο

Για το αντίστροφο, έστω ${ϵ}_{\mathrm{A}},{ϵ}_{\mathrm{B}},{ϵ}_{\mathrm{\Gamma }}$ τρεις κάθετες στα σημεία ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{P}}_{\mathrm{\Gamma }}$ των πλευρών ενός τριγώνου που ικανοποιούν

Πρότυπο:NumBlk

Επίσης, θεωρούμε $\mathrm{P}$ το σημείο τομής των ${ϵ}_{\mathrm{B}}$ και ${ϵ}_{\mathrm{\Gamma }}$.

Θεωρούμε ${\mathrm{P}}_{{\mathrm{A}}^{\prime }}$ την προβολή του $\mathrm{P}$ στο $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$. Θα δείξουμε ότι ${\mathrm{P}}_{{\mathrm{A}}^{\prime }}={\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$. Από το ευθύ του θεωρήματος, έχουμε ότι ικανοποιεί

Πρότυπο:NumBlk

Συνδυάζοντας τις (Πρότυπο:EquationNote) και (Πρότυπο:EquationNote), έχουμε ότι

${\mathrm{B}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }}^2-{\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }}^2={\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2-{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2$

Χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm{B}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }=\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }-\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }$ και $\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }-\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$, λαμβάνουμε ότι

${\mathrm{B}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }}^2-{\mathrm{\Gamma }{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }}^2={\mathrm{B}{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2-{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^2,$

και συνεπώς τα σημεία ${{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}}^{\prime }$ και ${\mathrm{P}}_{\mathrm{A}}$ ταυτίζονται.

Δείτε επίσης

• Πυθαγόρειο θεώρημα
• Θεώρημα του Μενελάου
• Θεώρημα του Τσέβα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα Καρνό
• Θεώρημα Καρνό: Αποδείξεις και εφαρμογές
• Θεώρημα Καρνό στήν Διαδραστική Γεωμετρία