Θεώρημα του Όιλερ (γεωμετρία)

Το θεώρημα του Όιλερ δίνει έναν τύπο για την απόσταση $\mathrm{O}\mathrm{I}$, συναρτήσει των $R$ και $r$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα του Όιλερ ή σχέση Όιλερ (αναφέρεται και ως θεώρημα του Euler ή σχέση Euler) σε ένα τρίγωνο είναι ένας τύπος που δίνει την απόσταση του περίκεντρου από το έγκεντρο συανρτήσει της ακτίνας του περιγεγραμμένου κύκλου και του εγγεγραμμένου κύκλου.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ η απόσταση του περικέντρου $\mathrm{O}$ από το έγκεντρο $\mathrm{I}$ είναι ίση με Πρότυπο:Rp

${\mathrm{O}\mathrm{I}}^2=R^2-2R\rho$,

όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

Επίσης ισχύει ότι αν ${\mathrm{J}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}$ είναι τα κέντρα των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου και ${\rho }_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{B}},{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}$ οι ακτίνες τους, τότε

${\mathrm{O}{\mathrm{J}}_{\mathrm{A}}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{A}},$ ${\mathrm{O}{\mathrm{J}}_{\mathrm{B}}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{B}},$ και ${\mathrm{O}{\mathrm{J}}_{\mathrm{\Gamma }}}^2=R^2+2R{\rho }_{\mathrm{\Gamma }}.$

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1765. Το ίδιο αποτέλεσμα είχε δημοσιευθεί νωρίτερα από τον William Chapple το 1746.

Δείτε επίσης

• Περίκεντρο τριγώνου
• Έγκεντρο τριγώνου
• Παράκεντρα τριγώνου