Σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ

Μετά την αφαίρεση των μαύρων διαστημάτων, τα λευκά σημεία που παραμένουν είναι ένα πυκνό σύνολο με μέτρο 1/2.

Στα μαθηματικά, το σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ (SVC), σύνολο Κάντορ ή σύνολο ε-Κάντορ είναι ένα παράδειγμα ενός συνόλου σημείων στην πραγματική γραμμή που δεν είναι πουθενά πυκνό (συγκεκριμένα, δεν περιέχει διαστήματα), ενώ έχει θετικό μέτρο. Το σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ οφείλει το όνομά του στους μαθηματικούς Χένρι Σμιθ, Βίτο Βολτέρρα και Γκέοργκ Κάντορ. Σε μια εργασία του 1875, ο Σμιθ συζήτησε για ένα πουθενά πυκνό σύνολο θετικού μέτρου στην πραγματική γραμμή, και ο Βολτέρρα παρουσίασε ένα παρόμοιο παράδειγμα το 1881. Το σύνολο Κάντορ, όπως το γνωρίζουμε σήμερα, προέκυψε το 1883. Το σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το σύνολο Κάντορ των μεσαίων τρίτων.

Κατασκευή

Παρομοίως με την κατασκευή του συνόλου Κάντορ, το σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ κατασκευάζεται αφαιρώντας ορισμένα διαστήματα από το μοναδιαίο διάστημα $[0,1].$

Η διαδικασία ξεκινά με την αφαίρεση του μεσαίου 1/4 από το διάστημα $[0,1]$ (το ίδιο με την αφαίρεση του 1/8 εκατέρωθεν του μεσαίου σημείου στο 1/2) έτσι ώστε το εναπομείναν σύνολο να είναι

$[0,\frac{3}{8}]\cup [\frac{5}{8},1].$

Τα επόμενα βήματα έχουν σκοπό την αφαίρεση υποδιαστημάτων πλάτους $1/4^n$ από το μέσο κάθε ενός από τα $2^{n-1}$ εναπομείναντα διαστήματα. Έτσι, για το δεύτερο βήμα αφαιρούνται τα διαστήματα $(5/32,7/32)$ και $(25/32,27/32)$, αφήνοντας

$[0,\frac{5}{32}]\cup [\frac{7}{32},\frac{3}{8}]\cup [\frac{5}{8},\frac{25}{32}]\cup [\frac{27}{32},1].$

Εάν συνεχίσουμε επ' αόριστον αυτή την αφαίρεση, το σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ είναι τότε το σύνολο των σημείων που δεν αφαιρούνται ποτέ. Η παρακάτω εικόνα δείχνει το αρχικό σύνολο και πέντε επαναλήψεις αυτής της διαδικασίας.

Κάθε επόμενη επανάληψη στην κατασκευή του συνόλου Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ αφαιρεί αναλογικά λιγότερο από τα υπόλοιπα διαστήματα. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το σύνολο Κάντορ, όπου η αναλογία που αφαιρείται από κάθε διάστημα παραμένει σταθερή. Έτσι, το πρώτο έχει θετικό μέτρο, ενώ το δεύτερο έχει μηδενικό μέτρο.

Ιδιότητες

Από την κατασκευή του, το σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ δεν περιέχει διαστήματα και επομένως έχει κενό εσωτερικό. Είναι επίσης η τομή μιας ακολουθίας κλειστών συνόλων, πράγμα που σημαίνει ότι είναι κλειστό. Κατά τη διάρκεια της διαδικασίας, τα διαστήματα συνολικού μήκους

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{2^{2n+2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\frac{1}{2}$

αφαιρούνται από το $[0,1],$ δείχνοντας ότι το σύνολο των εναπομεινάντων σημείων έχει θετικό μέτρο 1/2. Αυτό καθιστά το σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ ένα παράδειγμα κλειστού συνόλου του οποίου το Όριο έχει θετικό Μέτρο Λεμπέγκ.

Άλλα παχιά σύνολα Κάντορ

Γενικά, μπορεί κανείς να αφαιρέσει $r_n$ από κάθε υποδιάστημα που απομένει στο $n$th βήμα του αλγορίθμου και να καταλήξει σε ένα σύνολο σαν του Κάντορ. Το σύνολο που προκύπτει θα έχει θετικό μέτρο αν και μόνο αν το άθροισμα της ακολουθίας είναι μικρότερο από το μέτρο του αρχικού διαστήματος. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι τα μεσαία διαστήματα μήκους $a^n$ αφαιρούνται από το $[0,1]$ για κάθε $n$th επανάληψη, για κάποιο $0\le a\le \frac{1}{3}.$}. Τότε, το σύνολο που προκύπτει έχει μέτρο Λεμπέσκ

$\begin{array}{cc}1-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}^{n+1}& =1-a\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2a{)}^n\\ & =1-a\frac{1}{1-2a}\\ & =\frac{1-3a}{1-2a}\end{array}$

η οποία πηγαίνει από το $0$ στο $1$ καθώς το $a$ πηγαίνει από το $1/3$ στο $0.$ ($a>1/3$ είναι αδύνατο σε αυτή την κατασκευή).

Τα καρτεσιανά προϊόντα των συνόλων Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση εντελώς ασύνδετων συνόλων σε υψηλότερες διαστάσεις με μη μηδενικό μέτρο. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Ντεντζόι - Ριεζ σε ένα δισδιάστατο σύνολο αυτού του τύπου, είναι δυνατόν να βρεθεί μια καμπύλη Osgood, μια καμπύλη κατά Jordan τέτοια ώστε τα σημεία της καμπύλης να έχουν θετικό εμβαδόν.

Δείτε επίσης

• Βίτο Βολτέρρα
• Γκέοργκ Κάντορ
• Αναδρομή
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar