Σειρές Αϊζενστάιν

Οι σειρές Αϊζενστάιν, που πήραν το όνομά τους από τον Γερμανό μαθηματικό Γκότχολντ Αϊζενστάιν, είναι συγκεκριμένες σπονδυλωτές μορφές με άπειρες επεκτάσεις σειρών που μπορούν να καταγραφούν άμεσα. Αρχικά ορίστηκαν για τη σπονδυλωτή ομάδα, οι σειρές Αϊζενστάιν μπορούν να γενικευτούν στη θεωρία των αυτομορφικών μορφών.

Σειρές Αϊζενστάιν για τη σπονδυλωτή ομάδα

Το πραγματικό μέρος του Πρότυπο:Math ως συνάρτηση του Πρότυπο:Mvar στον μοναδιαίο δίσκο. Οι αρνητικοί αριθμοί είναι μαύροι.

Το φανταστικό μέρος του Πρότυπο:Math ως συνάρτηση του Πρότυπο:Mvar στον μοναδιαίο δίσκο.

Έστω Πρότυπο:Mvar μιγαδικός αριθμός με αυστηρά θετικό φανταστικό μέρος. Ορίζουμε την ολόμορφη σειρά Αϊζενστάιν Πρότυπο:Math βάρους Πρότυπο:Math, όπου Πρότυπο:Math είναι ακέραιος, με την ακόλουθη σειρά:

$G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}\frac{1}{(m+n\tau {)}^{2k}}.$

Αυτή η σειρά συγκλίνει απόλυτα σε μια ολόμορφη συνάρτηση του Πρότυπο:Mvar στο άνω ημιεπίπεδο και το ανάπτυγμά της κατά Φουριέ που παρουσιάζεται παρακάτω δείχνει ότι επεκτείνεται σε μια ολόμορφη συνάρτηση στο Πρότυπο:Math. Είναι αξιοσημείωτο γεγονός ότι η σειρά Αϊζενστάιν είναι μια σπονδυλωτή μορφή. Πράγματι, η βασική ιδιότητα είναι η αναλλοίωτη Πρότυπο:Math-της. Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math τότε

$G_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{2k}{G}_{2k}(\tau )$

: $\begin{array}{cc}{G}_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)& =\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}\frac{1}{{(m+n\frac{a\tau +b}{c\tau +d})}^{2k}}\\ & =\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}\frac{(c\tau +d{)}^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau {)}^{2k}}\\ & =\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{(m^{\prime },n^{\prime })=(m,n)\left(\begin{array}{c}dc\\ ba\end{array}\right)}{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}}\frac{(c\tau +d{)}^{2k}}{{(m^{\prime }+n^{\prime }\tau )}^{2k}}\end{array}$ Αν Πρότυπο:Math τότε ${\left(\begin{array}{cc}d& c\\ b& a\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}a& -c\\ -b& d\end{array}\right)$ έτσι ώστε $(m,n)\mapsto (m,n)\left(\begin{array}{cc}d& c\\ b& a\end{array}\right)$ είναι μια διχοτόμηση Πρότυπο:Math, i.e.: $\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{(m^{\prime },n^{\prime })=(m,n)\left(\begin{array}{c}dc\\ ba\end{array}\right)}{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}}\frac{1}{{(m^{\prime }+n^{\prime }\tau )}^{2k}}=\sum _{(m^{\prime },n^{\prime })\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}\frac{1}{(m^{\prime }+n^{\prime }\tau {)}^{2k}}=G_{2k}(\tau )$ Σε γενικές γραμμές, αν Πρότυπο:Math τότε $G_{2k}\left(\frac{a\tau +b}{c\tau +d}\right)=(c\tau +d{)}^{2k}{G}_{2k}(\tau )$ και Πρότυπο:Math είναι επομένως μια σπονδυλωτή μορφή βάρους Πρότυπο:Math. Παρατηρούμε ότι είναι σημαντικό να υποθέσουμε ότι Πρότυπο:Math, αλλιώς θα ήταν αθέμιτο να αλλάξουμε τη σειρά του αθροίσματος και δεν θα ίσχυε το Πρότυπο:Math-αναλλοίωτο. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχουν μη τετριμμένες σπονδυλωτές μορφές βάρους 2. Εντούτοις, ένα ανάλογο της ολόμορφης σειράς Αϊζενστάιν μπορεί να οριστεί ακόμη και για Πρότυπο:Math, αν και θα ήταν μόνο μια οιονεί μορφοτροπική μορφή.

Σημειώστε ότι το Πρότυπο:Math είναι απαραίτητο ώστε η σειρά να συγκλίνει απόλυτα, ενώ το Πρότυπο:Math πρέπει να είναι άρτιο, διαφορετικά το άθροισμα εξαφανίζεται επειδή οι όροι Πρότυπο:Math και (Πρότυπο:Math ακυρώνονται. Για Πρότυπο:Math η σειρά συγκλίνει αλλά δεν είναι σπονδυλωτή μορφή.

Σχέση με τις σπονδυλωτές αναλλοίωτες

Οι σπονδυλωτές αναλλοίωτες Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math μιας ελλειπτικής καμπύλης δίνονται από τις δύο πρώτες σειρές Αϊζενστάιν:

$\begin{array}{cc}{g}_2& =60G_4\\ g_3& =140G_6.\end{array}$

Το άρθρο σχετικά με τις σπονδυλωτές αναλλοίωτες παρέχει εκφράσεις για αυτές τις δύο συναρτήσεις ως προς τις συναρτήσεις θήτα.

Σχέση επανάληψης

Κάθε ολομορφική σπονδυλωτή μορφή για τη σπονδυλωτή ομάδα μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο στα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Συγκεκριμένα, η ανώτερη τάξη Πρότυπο:Math μπορεί να γραφεί ως προς τις Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math μέσω μιας αναδρομικής σχέσης. Έστω Πρότυπο:Math, έτσι για παράδειγμα, Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Τότε τα Πρότυπο:Mvar πληρούν τη σχέση

$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})d_k{d}_{n-k}=\frac{2n+9}{3n+6}{d}_{n+2}$

για όλα τα Πρότυπο:Math. Εδώ, Πρότυπο:Math είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

Τα Πρότυπο:Math εμφανίζονται στο ανάπτυγμα σειράς για τις ελλειπτικές συναρτήσεις του Βαϊερστράς (Weierstrass):

$\begin{array}{cc}\mathrm{\wp }(z)& =\frac{1}{z^2}+z^2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{d_k{z}^{2k}}{k!}\\ & =\frac{1}{z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(2k+1)G_{2k+2}{z}^{2k}.\end{array}$

Σειρά Φουριέ

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Math

Ορίζουμε Πρότυπο:Math. (Ορισμένα παλαιότερα βιβλία ορίζουν το Πρότυπο:Mvar ως το νούμερο Πρότυπο:Math, αλλά το Πρότυπο:Math είναι πλέον καθιερωμένο στη θεωρία αριθμών). Επομένως, η σειρά Φουριέ της σειράς Αϊζενστάιν έχει ως εξής

$G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{2k-1}(n)q^n)$

όπου οι συντελεστές Πρότυπο:Math δίνονται ως εξής

$\begin{array}{cc}{c}_{2k}& =\frac{(2\pi i{)}^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}\\ & =\frac{-4k}{B_{2k}}=\frac{2}{\zeta (1-2k)}.\end{array}$

Εδώ, Πρότυπο:Math είναι οι αριθμοί Μπερνούλι, Πρότυπο:Math είναι η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν και Πρότυπο:Math είναι η συνάρτηση αθροίσματος διαιρέσεων, το άθροισμα των Πρότυπο:Mvarth δυνάμεων των διαιρετών του Πρότυπο:Mvar. Συγκεκριμένα, έχουμε

$\begin{array}{cc}{G}_4(\tau )& =\frac{{\pi }^4}{45}(1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(n)q^n)\\ G_6(\tau )& =\frac{2{\pi }^6}{945}(1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_5(n)q^n).\end{array}$

Το άθροισμα επί του Πρότυπο:Mvar μπορεί να ανακεφαλαιωθεί ως σειρά Λαμπέρ, δηλαδή έχουμε

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_a(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^a{q}^n}{1-q^n}$

για αυθαίρετα μιγαδικά q| < και Πρότυπο:Mvar. Όταν εξετάζεται η Πρότυπο:Mvar-επέκταση της σειράς Αϊζενστάιν, αυτός ο εναλλακτικός συμβολισμός εισάγεται συχνά:

$\begin{array}{cc}{E}_{2k}(\tau )& =\frac{G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}\\ & =1+\frac{2}{\zeta (1-2k)}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{2k-1}{q}^n}{1-q^n}\\ & =1-\frac{4k}{B_{2k}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_{2k-1}(n)q^n\\ & =1-\frac{4k}{B_{2k}}\sum _{d,n\ge 1}{n}^{2k-1}{q}^{nd}.\end{array}$

Ταυτότητες που αφορούν σειρές Αϊζενστάιν

Ως συναρτήσεις θήτα

Δεδομένου του Πρότυπο:Math, έστω

$\begin{array}{cc}{E}_4(\tau )& =1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^n}{1-q^n}\\ E_6(\tau )& =1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^5{q}^n}{1-q^n}\\ E_8(\tau )& =1+480\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^7{q}^n}{1-q^n}\end{array}$

και ορίζουμε τις συναρτήσεις θήτα του Ιακωβί, οι οποίες συνήθως χρησιμοποιούν το nome Πρότυπο:Math,,

$\begin{array}{cc}a& ={\theta }_2(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{10}(0;\tau )\\ b& ={\theta }_3(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{00}(0;\tau )\\ c& ={\theta }_4(0;e^{\pi i\tau })={\vartheta }_{01}(0;\tau )\end{array}$

όπου Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι εναλλακτικοί συμβολισμοί. Τότε έχουμε τις συμμετρικές σχέσεις,

$\begin{array}{cc}{E}_4(\tau )& =\frac{1}{2}(a^8+b^8+c^8)\\ E_6(\tau )& =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{(a^8+b^8+c^8)}^3-54(abc{)}^8}{2}}\\ E_8(\tau )& =\frac{1}{2}(a^{16}+b^{16}+c^{16})=a^8{b}^8+a^8{c}^8+b^8{c}^8\end{array}$

Η βασική άλγεβρα υποδηλώνει άμεσα ότι

$E_4^3-E_6^2=\frac{27}{4}(abc{)}^8$

μια έκφραση που σχετίζεται με τη σπονδυλωτή διακριτική ικανότητα,

$\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_3^2=(2\pi {)}^{12}{\left(\frac{1}{2}abc\right)}^8$

Η τρίτη συμμετρική σχέση, από την άλλη πλευρά, είναι συνέπεια της Πρότυπο:Math and Πρότυπο:Math.

Προϊόντα της σειράς Αϊζενστάιν

Οι σειρές Αϊζενστάιν αποτελούν τα πιο σαφή παραδείγματα σπονδυλωτών μορφών για την πλήρη σπονδυλωτή ομάδα Πρότυπο:Math. Δεδομένου ότι ο χώρος των σπονδυλωτών μορφών βάρους Πρότυπο:Math έχει διάσταση 1 για Πρότυπο:Math, τα διάφορα προϊόντα των σειρών Eisenstein που έχουν αυτά τα βάρη πρέπει να είναι ίσα μέχρι ένα κλιμακωτό πολλαπλάσιο. Πράγματι, λαμβάνουμε τις ταυτότητες:

$E_4^2=E_8,E_4{E}_6=E_{10},E_4{E}_{10}=E_{14},E_6{E}_8=E_{14}.$

Με τη χρήση των Πρότυπο:Mvar-επεκτάσεων των σειρών Αϊζενστάιν που δόθηκαν παραπάνω, μπορούν να επαναδιατυπωθούν ως ταυτότητες που περιλαμβάνουν τα αθροίσματα των δυνάμεων των διαιρετών:

${(1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_3(n)q^n)}^2=1+480\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_7(n)q^n,$

ως εκ τούτου

${\sigma }_7(n)={\sigma }_3(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}{\sigma }_3(m){\sigma }_3(n-m),$

και αντιστοίχως για τα υπόλοιπα. Η συνάρτηση θήτα ενός οκταδιάστατου ζυγού μονοτροπικού πλέγματος Πρότυπο:Math είναι μια σπονδυλωτή μορφή βάρους 4 για την πλήρη σπονδυλωτή ομάδα, η οποία δίνει τις ακόλουθες ταυτότητες:

${\theta }_{\mathrm{\Gamma }}(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_{\mathrm{\Gamma }}(2n)q^n=E_4(\tau ),r_{\mathrm{\Gamma }}(n)=240{\sigma }_3(n)$

για τον αριθμό Πρότυπο:Math των διανυσμάτων τετραγωνικού μήκους Πρότυπο:Math στο ριζικό πλέγμα του τύπου Πρότυπο:Math.

Παρόμοιες τεχνικές που περιλαμβάνουν ολόμορφες σειρές Αϊζενστάιν στριμμένες από έναν χαρακτήρα Ντρίχλετ παράγουν τύπους για τον αριθμό των απεικονίσεων ενός θετικού ακέραιου Πρότυπο:Mvar' ως άθροισμα δύο, τεσσάρων ή οκτώ τετραγώνων ως προς τους διαιρέτες του Πρότυπο:Mvar.

Χρησιμοποιώντας την παραπάνω αναδρομική σχέση, όλα τα υψηλότερα Πρότυπο:Math μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα στα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Παραδείγματος χάριν:

$\begin{array}{cc}{E}_8& =E_4^2\\ E_{10}& =E_4\cdot E_6\\ 691\cdot E_{12}& =441\cdot E_4^3+250\cdot E_6^2\\ E_{14}& =E_4^2\cdot E_6\\ 3617\cdot E_{16}& =1617\cdot E_4^4+2000\cdot E_4\cdot E_6^2\\ 43867\cdot E_{18}& =38367\cdot E_4^3\cdot E_6+5500\cdot E_6^3\\ 174611\cdot E_{20}& =53361\cdot E_4^5+121250\cdot E_4^2\cdot E_6^2\\ 77683\cdot E_{22}& =57183\cdot E_4^4\cdot E_6+20500\cdot E_4\cdot E_6^3\\ 236364091\cdot E_{24}& =49679091\cdot E_4^6+176400000\cdot E_4^3\cdot E_6^2+10285000\cdot E_6^4\end{array}$

Πολλές σχέσεις μεταξύ προϊόντων σειρών Αϊζενστάιν μπορούν να γραφούν με κομψό τρόπο χρησιμοποιώντας προσδιοριστές Χάνκελ, π.χ. η ταυτότητα του Γκάρβαν

${\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{(2\pi {)}^{12}}\right)}^2=-\frac{691}{1728^2\cdot 250}\det \left|\begin{array}{ccc}{E}_4& E_6& E_8\\ E_6& E_8& E_{10}\\ E_8& E_{10}& E_{12}\end{array}\right|$

όπου

$\mathrm{\Delta }=(2\pi {)}^{12}\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}$

είναι η σπονδυλωτή διακριτική ικανότητα

Ταυτότητες Ραμανουτζάν

Ο Σρινιβάσα Ραμανουτζάν έδωσε αρκετές ενδιαφέρουσες ταυτότητες μεταξύ των πρώτων σειρών Αϊζενστάιν που αφορούν τη διαφοροποίηση. Έστω

$\begin{array}{cccc}L(q)& =1-24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{q}^n}{1-q^n}& & =E_2(\tau )\\ M(q)& =1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^n}{1-q^n}& & =E_4(\tau )\\ N(q)& =1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^5{q}^n}{1-q^n}& & =E_6(\tau ),\end{array}$

τότε

$\begin{array}{cc}q\frac{dL}{dq}& =\frac{L^2-M}{12}\\ q\frac{dM}{dq}& =\frac{LM-N}{3}\\ q\frac{dN}{dq}& =\frac{LN-M^2}{2}.\end{array}$

Αυτές οι ταυτότητες, όπως και οι ταυτότητες μεταξύ των σειρών, δίνουν αριθμητικές ταυτότητες συνέλιξης που περιλαμβάνουν το άθροισμα της συνάρτησης του διαιρέτη. Σύμφωνα με τον Ραμανουτζάν, για να θέσουμε αυτές τις ταυτότητες στην απλούστερη μορφή είναι απαραίτητο να επεκτείνουμε το πεδίο της Πρότυπο:Math ώστε να περιλαμβάνει το μηδέν, θέτοντας

$\begin{array}{cc}{\sigma }_p(0)=\frac{1}{2}\zeta (-p)⟹\sigma (0)& =-\frac{1}{24}\\ {\sigma }_3(0)& =\frac{1}{240}\\ {\sigma }_5(0)& =-\frac{1}{504}.\end{array}$

Στη συνέχεια, για παράδειγμα

$\sum _{k=0}^n\sigma (k)\sigma (n-k)=\frac{5}{12}{\sigma }_3(n)-\frac{1}{2}n\sigma (n).$

Άλλες ταυτότητες αυτού του τύπου, οι οποίες όμως δεν σχετίζονται άμεσα με τις προηγούμενες σχέσεις μεταξύ των συναρτήσεων Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar , έχουν αποδειχθεί από τους Ραμανουτζάν και Τζουζέπε Μέλφι, όπως παραδείγματος χάριν

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^n{\sigma }_3(k){\sigma }_3(n-k)& =\frac{1}{120}{\sigma }_7(n)\\ \sum _{k=0}^n\sigma (2k+1){\sigma }_3(n-k)& =\frac{1}{240}{\sigma }_5(2n+1)\\ \sum _{k=0}^n\sigma (3k+1)\sigma (3n-3k+1)& =\frac{1}{9}{\sigma }_3(3n+2).\end{array}$

Γενικεύσεις

Οι αυτομορφικές μορφές γενικεύουν την ιδέα των σπονδυλωτών μορφών για γενικές ομάδες Lie και οι σειρές Αϊζενστάιν γενικεύονται με παρόμοιο τρόπο.

Αν ορίσουμε ότι Πρότυπο:Math είναι ο δακτύλιος των ακεραίων ενός εντελώς πραγματικού αλγεβρικού αριθμητικού πεδίου Πρότυπο:Mvar, τότε ορίζουμε τη σπονδυλωτή ομάδα Χίλμπερτ-Μπλούμενταλ ως Πρότυπο:Math. Στη συνέχεια μπορεί κανείς να συσχετίσει μια σειρά Αϊζενστάιν με κάθε κορυφή της σπονδυλωτής ομάδας Χίλμπερτ-Μπλούμενταλ.

Δείτε επίσης

• Αναδρομή
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite journal Translated into English as Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar