Πεδίο τιμών

Μια συνάρτηση Πρότυπο:Mvar από το Πρότυπο:Mvar στο Πρότυπο:Mvar. Το μπλε οβάλ Πρότυπο:Mvar είναι το πεδίο τιμών της Πρότυπο:Mvar. Το κίτρινο οβάλ μέσα στο Πρότυπο:Mvar είναι το σύνολο τιμών της Πρότυπο:Mvar και το κόκκινο οβάλ Πρότυπο:Mvar είναι το πεδίο ορισμού της Πρότυπο:Mvar.

Στα μαθηματικά, το πεδίο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο στο οποίο περιορίζεται η έξοδος αυτής της συνάρτησης. Είναι το σύνολο Πρότυπο:Mvar στον συμβολισμό Πρότυπο:Math.

Το πεδίο τιμών είναι ένα μέρος μιας συνάρτησης Πρότυπο:Mvar, εάν η Πρότυπο:Mvar ορίζεται ως ένα σώμα Πρότυπο:Math όπου το Πρότυπο:Mvar ονομάζεται πεδίο ορισμού, το Πρότυπο:Mvar πεδίο τιμών και το Πρότυπο:Mvar γραφική παράσταση της Πρότυπο:Mvar. Το σύνολο όλων των στοιχείων της μορφής Πρότυπο:Math, όπου το Πρότυπο:Mvar ανήκει στα στοιχεία του πεδίου ορισμού του Πρότυπο:Mvar, ονομάζεται σύνολο τιμών της Πρότυπο:Mvar. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι ένα υποσύνολο του πεδίου τιμών της, επομένως μπορεί να μην συμπίπτει με αυτό. Δηλαδή, μια συνάρτηση που δεν είναι επί έχει στοιχεία Πρότυπο:Mvar που ανήκουν στο πεδίο τιμών, για τα οποία η εξίσωση Πρότυπο:Math δεν έχει λύση.

Το πεδίο τιμών δεν είναι μέρος μιας συνάρτησης Πρότυπο:Mvar, εάν η Πρότυπο:Mvar ορίζεται απλά ως μια γραφική παράσταση. Με έναν τέτοιο ορισμό, οι συναρτήσεις δεν έχουν πεδίο τιμών, αν και κάποιοι εξακολουθούν να τον χρησιμοποιούν ανεπίσημα όταν εισάγεται μια συνάρτηση της μορφής Πρότυπο:Math.

Παραδείγματα

Για μια συνάρτηση

$f:ℝ\to ℝ$

που ορίζεται ως

$f:x\mapsto x^2,$ ή ισοδύναμα $f(x)=x^2,$

το πεδίο τιμών της Πρότυπο:Mvar είναι το $ℝ$, αλλά η Πρότυπο:Mvar δεν αντιστοιχίζεται σε κανένα αρνητικό αριθμό. Έτσι, το πεδίο τιμών της Πρότυπο:Mvar είναι το σύνολο ${ℝ}_0^{+}$, δηλαδή το διάστημα Πρότυπο:Math.

Έστω τώρα μια παρόμοια συνάρτηση Πρότυπο:Mvar που ορίζεται ως εξής:

$g:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$

$g:x\mapsto x^2.$

Παρόλο που η Πρότυπο:Mvar και η Πρότυπο:Mvar έχουν τον ίδιο τύπο και το ίδιο πεδίο ορισμού, δεν είναι, σε αυτήν την περίπτωση, οι ίδιες συναρτήσεις επειδή έχουν διαφορετικά πεδία τιμών. Ας ορίσουμε μια τρίτη συνάρτηση Πρότυπο:Mvar για να δείξουμε γιατί συμβαίνει αυτό:

$h:x\mapsto \sqrt{x}.$

Το πεδίο ορισμού της Πρότυπο:Mvar δεν μπορεί να είναι $ℝ$, αλλά μπορεί να οριστεί ώστε να είναι ${ℝ}_0^{+}$:

$h:{ℝ}_0^{+}\to ℝ.$

Οι συνθέσεις γράφονται ως εξής:

$h\circ f,$

$h\circ g.$

Όπως είδαμε, το πεδίο τιμών της Πρότυπο:Mvar δεν είναι γνωστό. Είναι γνωστό μόνο το ότι είναι ένα υποσύνολο του $ℝ$. Για τον λόγο αυτό, είναι πιθανόν η Πρότυπο:Mvar, όταν συνθέτεται με την Πρότυπο:Mvar, να λάβει κάποιους αριθμούς για τους οποίους δεν ορίζεται κάποια έξοδος. Στην προκειμένη περίπτωση, οι αρνητικοί αριθμοί δεν είναι στοιχεία του πεδίου ορισμού της Πρότυπο:Mvar, που είναι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας.

Επομένως, η σύνθεση συναρτήσεων είναι μια χρήσιμη έννοια μόνο όταν το πεδίο τιμών της συνάρτησης που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της σύνθεσης (όχι το σύνολο τιμών της, το οποίο μπορεί να είναι άγνωστο όταν γίνεται η σύνθεση) είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της σύνθεσης.

Το πεδίο τιμών επηρεάζει το εάν μια συνάρτηση είναι επί, καθώς μια συνάρτηση είναι επί αν και μόνο αν το πεδίο τιμών της ισούται με το σύνολο τιμών της. Στο παράδειγμά μας, η Πρότυπο:Mvar είναι επί ενώ η Πρότυπο:Mvar όχι. Το πεδίο τιμών δεν επηρεάζει το εάν μια συνάρτηση είναι ένα προς ένα.

Ένα δεύτερο παράδειγμα της διαφοράς μεταξύ του πεδίου τιμών και του συνόλου τιμών μπορεί να φανεί από τους γραμμικούς μετασχηματισμούς μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων. Συγκεκριμένα, όλοι οι γραμμικοί μετασχηματισμοί από το ${ℝ}^2$ στον εαυτό του, οι οποίοι μπορούν να αναπαρασταθούν από Πρότυπο:Math πίνακες με πραγματικούς συντελεστές. Κάθε πίνακας αντιπροσωπεύει μια απεικόνιση με το πεδίο ορισμού ${ℝ}^2$ και το πεδίο τιμών ${ℝ}^2$. Ωστόσο, το σύνολο τιμών είναι άγνωστο. Ορισμένοι μετασχηματισμοί μπορεί να έχουν σύνολο τιμών που είναι ίσο με ολόκληρο το πεδίο τιμών (σε αυτή την περίπτωση οι πίνακες με βαθμό (τάξη) Πρότυπο:Math), αλλά άλλοι μπορεί να μην έχουν. Αντιθέτως, αντιστοιχίζονται σε κάποιο μικρότερο υποχώρο (σε αυτή την περίπτωση οι πίνακες με βαθμό (τάξη) Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math). Πάρτε για παράδειγμα τον πίνακα Πρότυπο:Mvar που δίνεται παρακάτω

$T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right),$

ο οποίος αντιπροσωπεύει έναν γραμμικό μετασχηματισμό που απεικονίζει το σημείο Πρότυπο:Math στο σημείο Πρότυπο:Math. Το σημείο Πρότυπο:Math δεν βρίσκεται στο σύνολο τιμών του Πρότυπο:Mvar, αλλά εξακολουθεί να βρίσκεται στο πεδίο τιμών, αφού οι γραμμικοί μετασχηματισμοί από το ${ℝ}^2$ στο ${ℝ}^2$ υπάρχουν. Ακριβώς όπως όλοι οι Πρότυπο:Math πίνακες, έτσι και ο Πρότυπο:Mvar αντιπροσωπεύει ένα μέλος αυτού του συνόλου. Η εξέταση των διαφορών μεταξύ του συνόλου τιμών και του πεδίου τιμών μπορεί συχνά να είναι χρήσιμη για την ανακάλυψη κάποιων ιδιοτήτων της εν λόγω συνάρτησης. Για παράδειγμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο Πρότυπο:Mvar δεν έχει τον μέγιστο βαθμό (τάξη), αφού το σύνολο τιμών του είναι μικρότερο από το πεδίο τιμών του.

Δείτε επίσης

• Ένα προς ένα και επί
• Μορφισμός

Βιβλιογραφικές αναφορές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• http://ebooks.edu.gr/ebooks/v/html/8547/2732/Mathimatika_Teuxos-B_G-Lykeiou-ThSp_html-apli/