Συνάρτηση του Βολτέρρα

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση του Βολτέρρα, η οποία πήρε το όνομά της από τον Βίτο Βολτέρρα, είναι μια πραγματική συνάρτηση V που ορίζεται στο $ℝ$ με τον ακόλουθο περίεργο συνδυασμό ιδιοτήτων:

• Η V είναι διαφορίσιμη παντού ,
• η παράγωγος VΠρότυπο:' είναι παντού περιορισμένη,
• η παράγωγος δεν είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

Τα τρία πρώτα στάδια κατασκευής.

Ορισμός και κατασκευή

Η συνάρτηση ορίζεται από το Σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ, το οποίο θα σημειωθεί εδώ ως S, και "αντίγραφα" της συνάρτησης $f$ που ορίζεται από τη σχέση $f(x)=x^{2}sin\left(\frac{1}{x}\right)$ για $x$ ≠ 0 και $f(0)=0$, με στόχο την κατασκευή μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής σε ένα σύνολο μη μηδενικών μέτρο. Μια τέτοια παράγωγος δεν μπορεί να είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

Το σύνολο S είναι ένα κλειστό τμήμα του [0,1], με μη μηδενικό μέτρο, κενό εσωτερικό και χωρίς απομονωμένα σημεία. Το συμπλήρωμά του στο [0,1] είναι μια μετρήσιμη ένωση ανοικτών διαστημάτων. Η συνάρτηση Βολτέρρα ορίζεται ως εξής. Είναι μηδέν στο S. Σε κάθε ανοικτό διάστημα $]a,b[$ του συμπληρωματικού του S, είναι ίση με μια διαφορίσιμη συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο, που επεκτείνεται στο a και στο b σε μια συνεχή και διαφορίσιμη συνάρτηση, με $f(a)=f(b)=f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=0$, αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε η παράγωγος να είναι ασυνεχής στο a και στο b. Για να το κάνουμε αυτό, προσαρμόζουμε στο διάστημα $]a,b[$ την παρακάτω κατασκευή, που πραγματοποιήθηκε, για να απλοποιήσουμε τους συμβολισμούς, για την περίπτωση του διαστήματος ]0,1[ :

• Έστω $f(x)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ για $x\in ]0,c]$, με c ένα πραγματικό στοιχείο του $]0,\frac{1}{2}]$ και τέτοιο ώστε $f^{\prime }(c)=0$.
• Έστω $f(x)=f(c)$ πάνω στο $[c,\frac{1}{2}]$.
• Έστω $f(x)=f(1-x)$ στο $[\frac{1}{2},1]$*

Ιδιότητες

Αφού ολοκληρώσουμε μια ανάλογη κατασκευή σε κάθε διάστημα του συμπληρώματος του S, λαμβάνουμε μια συνάρτηση V παραγωγίσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του $[0,1]$, και της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής στο S και συνεχής στο συμπλήρωμά του .

Πράγματι, η παραπάνω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με μηδενική παράγωγο. Αλλά για μη μηδενικό x, έχουμε $f^{\prime }(x)=2x\sin (1/x)-\cos (1/x)$, το οποίο σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του μηδενός, υπάρχουν σημεία όπου η $f^{\prime }(x)$ παίρνει τις τιμές 1 και -1. Έτσι, υπάρχουν σημεία όπου το $V^{\prime }(x)$ παίρνει τις τιμές 1 και -1 σε κάθε γειτονιά κάθε ορίου των διαστημάτων που αφαιρούνται κατά την κατασκευή του συνόλου S του Σμιθ, Βόλτερρα και Κάντορ. Έτσι, σε οποιοδήποτε σημείο του S, το V είναι παραγωγίσιμο, με μηδενική παράγωγο, αλλά το $V^{\prime }(x)$ εκεί είναι ασυνεχές. Ωστόσο, η $V^{\prime }$ είναι συνεχής σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, οπότε το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της $V^{\prime }$ είναι ακριβώς ίσο με το S.

Δεδομένου ότι το σύνολο S έχει αυστηρά θετικό μέτρο Λεμπεσγκ, αυτό σημαίνει ότι το $V^{\prime }$ είναι ασυνεχές σε ένα σύνολο μη μηδενικού μέτρου, και επομένως δεν είναι ολοκληρώσιμο κατά Ρίμαν.Πρότυπο:,.

Σημειώστε ότι αν είχαμε πραγματοποιήσει την ίδια κατασκευή στο σύνολο Cantor C, θα είχαμε λάβει μια συνάρτηση με παρόμοιες ιδιότητες, αλλά η παράγωγος θα ήταν ασυνεχής στο C, το οποίο έχει μέτρο μηδέν, και η συνάρτηση που θα λαμβάναμε θα είχε τότε μια ολοκληρώσιμη παράγωγο Ρίμαν.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Webarchive Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function, talk by David Marius Bressoud
• Πρότυπο:Webarchive Volterra's example of a derivative that is not integrable (PPT), talk by David Marius Bressoud

Δείτε επίσης

• Βίτο Βολτέρρα
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar