Παράγωγος φράκταλ

Στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος φράκταλ ή παράγωγος Χάουσντορφ είναι μια μη-Νευτώνεια γενίκευση της παραγώγου που αφορά το μέτρο των φράκταλ, η οποία ορίζεται στη μορφοκλασματική γεωμετρία. Οι φράκταλ παράγωγοι δημιουργήθηκαν για τη μελέτη της ανώμαλης διάχυσης, όπου οι παραδοσιακές προσεγγίσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τη μορφοκλασματική φύση του μέσου. Ένα μέτρο φράκταλ t κλιμακώνεται ως συνάρτηση του t^α. Μια τέτοια παράγωγος είναι τοπική, σε αντίθεση με την ομοίως εφαρμοζόμενη μορφοκλασματική παράγωγο. Ο μορφοκλασματικός λογισμός διατυπώνεται ως γενίκευση του καθιερωμένου λογισμού .

Φυσικό πλαίσιο

Τα πορώδη μέσα, οι υδροφόροι ορίζοντες, οι αναταράξεις και άλλα πεδία παρουσιάζουν συνήθως μορφοκλασματικές ιδιότητες. Οι κλασικοί νόμοι διάχυσης ή διασποράς που βασίζονται σε τυχαίους περιπάτους στον ελεύθερο χώρο (στην ουσία το ίδιο αποτέλεσμα γνωστό ως νόμοι διάχυσης του Φικ, ο νόμος του Ντάρσι και ο νόμος του Φουριέ) δεν είναι εφαρμόσιμοι στα μορφοκλασματικά μέσα. Για να ξεπεραστεί αυτό, έννοιες όπως η απόσταση και η ταχύτητα πρέπει να επαναπροσδιοριστούν για τα μορφοκλασματικά μέσα- ειδικότερα, οι κλίμακες χώρου και χρόνου πρέπει να μετασχηματιστούν ως συναρτήσεις του (x^β, t^α). Οι στοιχειώδεις φυσικές έννοιες όπως η ταχύτητα επαναπροσδιορίζονται ως εξής για τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο (x^β, t^α):

$v^{\prime }=\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=\frac{d{x}^{\beta }}{d{t}^{\alpha }},\alpha ,\beta >0$,

όπου το S^α,β αντιπροσωπεύει τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο με δείκτες κλιμάκωσης α και β. Ο παραδοσιακός ορισμός της ταχύτητας δεν έχει νόημα στον μη διαφοροποιήσιμο φράκταλ χωροχρόνο.

Ορισμός

Με βάση τον παραπάνω προβληματισμό, η έννοια της φράκταλ παραγώγου μιας συνάρτησης u(t) ως προς ένα φράκταλ μέτρο t εισάγεται ως εξής:

$\frac{\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}=\underset{t_1\to t}{\lim }\frac{f(t_1)-f(t)}{t_1^{\alpha }-t^{\alpha }},\alpha >0$,

Ένας πιο γενικός ορισμός δίνεται από τον ακόλουθο ορισμό

$\frac{{\partial }^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}=\underset{t_1\to t}{\lim }\frac{f^{\beta }(t_1)-f^{\beta }(t)}{t_1^{\alpha }-t^{\alpha }},\alpha >0,\beta >0$.

Για μια συνάρτηση y(t) στο $F^{\alpha }$-τέλειο μορφοκλασματικό σύνολο F η φράκταλ παράγωγος ή $F^{\alpha }$-παράγωγος της στο t, ορίζεται ως εξής

$D_F^{\alpha }y(t)=\{\begin{array}{cc}\underset{x\to t}{F_{-}lim}\frac{y(x)-y(t)}{S_F^{\alpha }(x)-S_F^{\alpha }(t)},& ift\in F;\\ 0,& otherwise.\end{array}$.

Κίνητρο

Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f μπορούν να οριστούν ως προς τους συντελεστές a_k στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\cdot (x-x_0{)}^k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\frac{d^{k}f}{d{x}^k}(x_0)\cdot (x-x_0{)}^k=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)+o(x-x_0)$

Από αυτή την προσέγγιση μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

$f^{\prime }(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)-o(x-x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Αυτό μπορεί να γενικευτεί προσεγγίζοντας την f με συναρτήσεις (x^α-(x₀)^α)^k:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k\cdot (x^{\alpha }-x_0^{\alpha }{)}^k=f(x_0)+b_1\cdot (x^{\alpha }-x_0^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x_0^{\alpha })$

Σημείωση: ο συντελεστής χαμηλότερης τάξης πρέπει να εξακολουθεί να είναι b₀=f(x₀) αφού εξακολουθεί να είναι η σταθερή προσέγγιση της συνάρτησης f στο x₀.

Και πάλι μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

$b_1=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x^{\alpha }-x_0^{\alpha }}\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{df}{d{x}^{\alpha }}(x_0)$

• Το φράκταλ της σειράς Μακλάουριν της f(t) με φράκταλ υποστήριξη F έχει ως εξής:

$f(t)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(D_F^{\alpha }{)}^{m}f(t){|}_{t=0}}{m!}(S_F^{\alpha }(t){)}^m$

Ιδιότητες

Συντελεστές διαστολής

Όπως συμβαίνει και στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ, οι συντελεστές b_k μπορούν να εκφραστούν ως προς τις κλασματικές παραγώγους τάξης k της f:

$b_k=\frac{1}{k!}(\frac{d}{d{x}^{\alpha }}{)}^{k}f(x=x_0)$

Ιδέα απόδειξης: υποθέτοντας ότι $(\frac{d}{d{x}^{\alpha }}{)}^{k}f(x=x_0)$ υπάρχει, b_k μπορεί να γραφτεί ως εξής $b_k=a_k\cdot (\frac{d}{d{x}^{\alpha }}{)}^{k}f(x=x_0)$

μπορεί κανείς πλέον να χρησιμοποιήσει $f(x)=(x^{\alpha }-x_0^{\alpha }{)}^n\Rightarrow (\frac{d}{d{x}^{\alpha }}{)}^{k}f(x=x_0)=n!{\delta }_n^k$ και αφού $b_n\stackrel{\mathrm{!}}{=}1\Rightarrow a_n=\frac{1}{n!}$

Σύνδεση με παράγωγο

Αν για μια δεδομένη συνάρτηση f υπάρχουν τόσο η παράγωγος Df όσο και η φράκταλ παράγωγος D_αf, μπορεί κανείς να βρει ένα ανάλογο του κανόνα της αλυσίδας:

$\frac{df}{d{x}^{\alpha }}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{d{x}^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha }{x}^{1-\alpha }\frac{df}{dx}$

Το τελευταίο βήμα αιτιολογείται από το θεώρημα της εμπρόθετης συνάρτησης το οποίο, υπό κατάλληλες συνθήκες, μας δίνει dx/dx^α = (dx^α/dx)⁻¹

Ομοίως για τον γενικότερο ορισμό:

$\frac{d^{\beta }f}{d^{\alpha }x}=\frac{d(f^{\beta })}{d^{\alpha }x}=\frac{1}{\alpha }{x}^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f^{\prime }(x)$

Μορφοκλασματική παράγωγος για τη συνάρτηση f(t) = t, με τάξη παραγώγου είναι α ∈ (0,1]

Εφαρμογή σε ανώμαλη διάχυση

Ως εναλλακτική προσέγγιση μοντελοποίησης του κλασικού δεύτερου νόμου του Φικ, η φράκταλ παράγωγος χρησιμοποιείται για την εξαγωγή μιας γραμμικής εξίσωσης ανώμαλης μεταφοράς-διάχυσης που διέπει τη διαδικασία ανώμαλης διάχυσης,

$\frac{du(x,t)}{d{t}^{\alpha }}=D\frac{\partial }{\partial x^{\beta }}\left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}\right),-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty },(1)$

$u(x,0)=\delta (x).$

όπου 0 < α < 2, 0 < β < 1, και δ'(x) είναι η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ.

Για να προκύψει η θεμελιώδης λύση, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό των μεταβλητών

$t^{\prime }=t^{\alpha },x^{\prime }=x^{\beta }.$

τότε η εξίσωση (1) γίνεται η εξίσωση κανονικής μορφής διάχυσης, η λύση της (1) έχει την τεντωμένη Γκαουσιανή μορφή:

$u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t^{\alpha }}}{e}^{-\frac{x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}$

Η μέση τετραγωνική μετατόπιση της παραπάνω εξίσωσης διάχυσης με παράγωγο φράκταλ έχει την ασύμπτωτη:

$⟨x^2(t)⟩\propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.$

Φράκταλ-κλασματικός λογισμός

Η φράκταλ παράγωγος συνδέεται με την κλασική παράγωγο αν υπάρχει η πρώτη παράγωγος της υπό εξέταση συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή,

$\frac{\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}=\underset{t_1\to t}{\lim }\frac{f(t_1)-f(t)}{t_1^{\alpha }-t^{\alpha }}=\frac{df(t)}{dt}\frac{1}{\alpha t^{\alpha -1}},\alpha >0$.

Ωστόσο, λόγω της ιδιότητας διαφοροποιησιμότητας ενός ολοκληρώματος, οι κλασματικές παράγωγοι είναι διαφοροποιήσιμες. Ως εκ τούτου, η ακόλουθη νέα έννοια εισήχθη από τον καθηγητή Αμπντον Ατανγκάνα από τη Νότια Αφρική.

Οι ακόλουθοι διαφορικοί τελεστές εισήχθησαν και εφαρμόστηκαν πολύ πρόσφατα. Υποθέτοντας ότι η y(t) είναι συνεχής και κλασματική διαφορίσιμη στο (α, β) με τάξη β, ισχύουν διάφοροι ορισμοί μιας κλασματικής-κλασματικής παραγώγου της y(t) με τάξη α κατά Ρίμαν-Λιουβίλ:

• Να διαθέτουν πυρήνα τύπου νόμου ισχύος:

${FFP}^{}{D}_{0,t}^{\alpha ,\beta }(y(t))=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(m-\alpha )}\frac{d}{d{t}^{\beta }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-s{)}^{m-\alpha -1}y(s)ds$

• Να διαθέτουν πυρήνα εκθετικά φθίνοντος τύπου:

${FFE}^{}{D}_{0,t}^{\alpha ,\beta }(y(t))=\frac{M(\alpha )}{1-\alpha }\frac{d}{d{t}^{\beta }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp (-\frac{\alpha }{1-\alpha }(t-s))y(s)ds$,

• Να διαθέτουν γενικευμένο πυρήνα τύπου Mittag-Λέφλερ:

${}_a^{FFM}{D}_t^{\alpha }f(t)=\frac{AB(\alpha )}{1-\alpha }\frac{d}{d{t}^{\beta }}\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(\tau )E_{\alpha }(-\alpha \frac{{(t-\tau )}^{\alpha }}{1-\alpha })d\tau .$

Οι παραπάνω διαφορικοί τελεστές έχουν ο καθένας από έναν σχετικό τελεστή φράκταλ-κλασματικού ολοκληρώματος, ως εξής:

• Πυρήνας τύπου δυναμικού νόμου:

${FFP}^{}{J}_{0,t}^{\alpha ,\beta }(y(t))=\frac{\beta }{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-s{)}^{\alpha -1}{s}^{\beta -1}y(s)ds$

• Τύπος πυρήνα εκθετικά φθίνοντος :

${FFE}^{}{J}_{0,t}^{\alpha ,\beta }(y(t))=\frac{\alpha \beta }{M(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{s}^{\beta -1}y(s)ds+\frac{\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}$.

• Γενικός πυρήνας Μιταγκ-Λεφλέρ:

${FFM}^{}{J}_{0,t}^{\alpha ,\beta }(y(t))=\frac{\alpha \beta }{AB(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{s}^{\beta -1}y(s)(t-s{)}^{\alpha -1}ds+\frac{\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}$. Το FFM αναφέρεται ως φράκταλ-κλασματικό με τον γενικευμένο πυρήνα Μιταγκ-Λεφλέρ.

Μορφολασματικός μη-τοπικός λογισμός

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο του δεξιόστροφου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in ℝ$ της f ορίζεται από:

$x{ℐ}_b^{\beta }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\beta )}\underset{x}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(S_F^{\alpha }(t)-S_F^{\alpha }(x){)}^{1-\beta }}{d}_F^{\alpha }t$.

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο του αριστερόπλευρου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in ℝ$ της f ορίζεται από:

$a{ℐ}_x^{\beta }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\beta )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f(t)}{(S_F^{\alpha }(x)-S_F^{\alpha }(t){)}^{1-\beta }}{d}_F^{\alpha }t.$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in ℝ$ της f ορίζεται από:

$x{𝒟}_b^{\beta }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\beta )}(-D_F^{\alpha }{)}^n\underset{x}{\overset{b}{\int }}\frac{f(t)}{(S_F^{\alpha }(t)-S_F^{\alpha }(x){)}^{-n+\beta +1}}{d}_F^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης $\beta \in ℝ$ της f ορίζεται από:

$a{𝒟}_x^{\beta }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\beta )}(D_F^{\alpha }{)}^n\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f(t)}{(S_F^{\alpha }(x)-S_F^{\alpha }(t){)}^{-n+\beta +1}}{d}_F^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης $\beta \in ℝ$ της f ορίζεται από:

$x^C{𝒟}_b^{\beta }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\beta )}\underset{x}{\overset{b}{\int }}(S_F^{\alpha }(t)-S_F^{\alpha }(x){)}^{n-\beta -1}(-D_F^{\alpha }{)}^{n}f(t)d_F^{\alpha }t$

• Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης $\beta \in ℝ$ της f ορίζεται από:

$a^C{𝒟}_x^{\beta }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\beta )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(S_F^{\alpha }(x)-S_F^{\alpha }(t){)}^{n-\beta -1}(D_F^{\alpha }{)}^{n}f(t)d_F^{\alpha }t$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Cite web An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Σύνολο Κάντορ
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν