Συμμετρική σχέση

Αρχείο:Symmetric relation graph and matrix.svg

Αναπαράσταση μίας συμμετρικής σχέσης σαν γράφο και σαν πίνακα.

Στην θεωρία συνόλων, μία συμμετρική σχέση είναι μία σχέση, στην οποία αν το $x$ σχετίζεται με το $y$ τότε και το $y$ σχετίζεται με το $x$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Ένα παράδειγμα τέτοιας σχέσης είναι αυτή των «συγχωριανών», αν ο Γιώργος είναι συγχωριανός της Άννας, τότε και η Άννα είναι συγχωριανή του Γιώργου.

Πιο αυστηρά, έστω μία σχέση $R$ στο σύνολο $S$, δηλαδή $R\subseteq S\times S$, τότε για κάθε $x,y\in S$ έχουμε ότι

$xRy\iff yRx$.

Παραδείγματα

Οι παρακάτω σχέσεις είναι συμμετρικές:

• Οι σχέσεις "είναι συμφοιτητής/τρια", "είναι συναπόφοιτος/η", "είναι συνάδελφος", "είναι αδελφός/ή".
• Η σχέση "είναι παντρεμμένος/η".
• Η σχέση της ισότητας είναι συμμετρική, καθώς αν $x=y$ τότε και $y=x$.
• Η σχέση $R_n$ στους ακεραίους, ώστε $x{R}_{n}y\iff x\equiv y(\mathrm{mod}n)$, δηλαδή η σχέση μεταξύ υσοϋπόλοιπων αριθμών (για κάθε $n\ge 1$).
• Η σχέση

$R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,5),(4,4),(4,5),(5,3),(5,4)\}$,

της οποίας οι αναπαραστάσεις δίνονται και στην πρώτη εικόνα.

Αρχείο:Non symmetric relation graph and matrix.svg

Αναπαράσταση μίας μη συμμετρικής σχέσης σαν γράφο και σαν πίνακα. Τα κόκκινα στοιχεία είναι αυτά που χαλάνε την συμμετρία.

Οι παρακάτω σχέσεις δεν είναι συμμετρικές:

• Στο σύνολο $S$ των μαθητών μίας τάξης, η σχέση "είναι ψηλότερος/η" δεν είναι συμμετρική, καθώς αν η Άννα είναι ψηλότερη από τον Γιώργο, τότε δεν μπορεί να είναι και ο Γιώργος ψηλότερος από την Άννα.
• Στο σύνολο $S$ των αθρώπων της γης, η σχέση "είναι γονιός", δεν είναι συμμετρική, καθώς αν η Άννα είναι η μητέρα του Γιώργου, τότε δεν μπορεί και ο Γιώργος να είναι ο πατέρας της Άννας.
• Η σχέση

$R=\{(1,2),(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(5,4)\}$,

δεν είναι συμμετρική

Ιδιότητες

• Μία σχέση είναι συμμετρική αν και μόνο αν η σχέση είναι ίση με την αντίστροφή της.

• Έστω ο δυαδικός πίνακας $M(R)$ που αντιστοιχεί στην σχέση $R$. Τότε, ο πίνακας είναι συμμετρικός αν και μόνο αν η συνάρτηση είναι συμμετρική.

• Έστω ο κατευθυνόμενος γράφος $G(R)$ που αντιστοιχεί στην σχέση $R$. Τότε, αν ο κόμβος $y$ είναι προσβάσιμος από τον $x$, τότε και ο $y$ είναι προσβάσιμος από τον $x$.

Πλήθος συμμετρικών σχέσεων

Το πλήθος των συμμετρικών σχέσεων σε ένα πεπερασμένο σύνολο $X$ αποτελούμενο από $n$ στοιχεία είναι $2^{n\cdot (n+1)/2}$. Τα πλήθη δίνονται από την ακολουθια:

$1,2,8,64,1024,\dots$Πρότυπο:Oeis

Σχετικές έννοιες

Μία σχέση ισοδυναμίας είναι μία συμμετρική σχέση που είναι επίσης ανακλαστική και μεταβατική.

Μία αντισυμμετρική σχέση είναι μία σχέση $R$ για την οποία για κάθε $x\ne y$ αν $(x,y)\in R$, τότε $(y,x)\notin R$.

Δείτε επίσης

• Ανακλαστική σχέση
• Μεταβατική σχέση
• Αντισυμμετρική σχέση
• Σχέση ισοδυναμίας