Ομάδα Κρεμόνα

Στην αλγεβρική γεωμετρία, η ομάδα Κρεμόνα, η οποία εισήχθη από τον Κρεμόνα (1863, 1865), είναι η ομάδα των δίρρητων αυτομορφισμών του $n$-διάστατου προβολικού χώρου πάνω σε ένα πεδίο Πρότυπο:Nowrap Συμβολίζεται με $Cr({\mathbb{P}}^n(k))$ or $Bir({\mathbb{P}}^n(k))$ ή $C{r}_n(k)$.

Η ομάδα Κρεμόνα ταυτίζεται φυσικά με την ομάδα αυτομορφισμού ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_k(k(x_1,...,x_n))$ του πεδίου των ρητών συναρτήσεων σε $n$ απροσδιόριστες πάνω από $k$, ή με άλλα λόγια μια καθαρή υπερβατική επέκταση του $k$, με βαθμό υπερβατικότητας $n$.

Η προβολική γενική γραμμική ομάδα τάξης $n+1$, των προβολικών μετασχηματισμών, περιέχεται στην ομάδα Κρεμόνα τάξης $n$. Οι δύο ομάδες είναι ίσες μόνο όταν $n=0$ ή $n=1$, οπότε και ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός μετασχηματισμού πρέπει να είναι γραμμικοί.

Ομάδα Κρεμόνα σε 2 διαστάσεις

Σε δύο διαστάσεις, ο Μαξ Νέτερ και ο Γκουίντο Καστελνούοβο έδειξαν ότι η σύνθετη ομάδα Κρεμόνα παράγεται από τον τυπικό τετραγωνικό μετασχηματισμό, μαζί με την $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}(3,k)$, αν και υπήρξε κάποια διαμάχη σχετικά με το αν οι αποδείξεις τους ήταν σωστές, και ο Πρότυπο:Harvtxt έδωσε ένα πλήρες σύνολο σχέσεων για αυτούς τους γεννήτορες. Η δομή αυτής της ομάδας δεν είναι ακόμα καλά κατανοητή, αν και έχει γίνει πολλή δουλειά για την εύρεση στοιχείων ή υποομάδων της.

• Οι Καντά & Λαμί (2010) έδειξαν ότι η ομάδα Κρεμόνα δεν είναι απλή ως αφηρημένη ομάδα,
• Ο Μπλαν έδειξε ότι δεν έχει μη τετριμμένες κανονικές υποομάδες που να είναι επίσης κλειστές σε μια φυσική τοπολογία.
• Για τις πεπερασμένες υποομάδες της ομάδας Κρεμόνα βλέπε Ντολγκάτσεφ & Ισκόφσκιχ (2009).

Ομάδα Κρεμόνα σε υψηλότερες διαστάσεις

Λίγα είναι γνωστά για τη δομή της ομάδας Κρεμόνα σε τρεις και περισσότερες διαστάσεις, αν και πολλά στοιχεία της έχουν περιγραφεί. Πρότυπο:Harvtxt έδειξε ότι είναι (γραμμικά) συνδεδεμένη, απαντώντας σε ένα ερώτημα του Σερ 2010. Δεν υπάρχει εύκολο ανάλογο του θεωρήματος Νέτερ-Καστελνούβο, καθώς η Πρότυπο:Harvtxt έδειξε ότι η ομάδα Κρεμόνα σε διάσταση τουλάχιστον 3 δεν παράγεται από τα στοιχεία της με βαθμό που περιορίζεται από οποιοδήποτε σταθερό ακέραιο.

Ομάδες ντε Ζονκιέρ

Μια ομάδα ντε Ζονκιέρ είναι μια υποομάδα μιας ομάδας Κρεμόνα της ακόλουθης μορφής . Επιλέγουμε μια βάση υπερβατικότητας $x_1,...,x_n$ για μια επέκταση του πεδίου $k$. Τότε μια ομάδα ντε Ζονκιέρ είναι η υποομάδα των αυτομορφισμών της $k(x_1,...,x_n)$ που απεικονίζει το υποπεδίο $k(x_1,...,x_r)$ στον εαυτό της για κάποιο $r\le n$. Έχει μια κανονική υποομάδα που δίνεται από την ομάδα Κρεμόνα των αυτομορφισμών του $k(x_1,...,x_n)$ πάνω στο πεδίο $k(x_1,...,x_r)$, και η πηλίκο ομάδα είναι η ομάδα Κρεμόνα του $k(x_1,...,x_r)$ πάνω στο πεδίο $k$. Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως η ομάδα των διρρητών αυτομορφισμών της δέσμης ινών ${\mathbb{P}}^r\times {\mathbb{P}}^{n-r}\to {\mathbb{P}}^r$.

Όταν $n=2$ και $r=1$ η ομάδα ντε Ζονκιέρ είναι η ομάδα των μετασχηματισμών Κρεμόνα που καθορίζουν ένα δέσμημα γραμμών μέσω ενός δεδομένου σημείου και είναι το ημιάμμεσο γινόμενο των ${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(k)$ and ${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(k(t))$.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Δείτε επίσης

• Algebraic Geometry
• Ζαν-Πιερ Σερ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Worksheet on Affine Noetherian Schemes
• Algebraic Geometry
• Topology

Σημειώσεις

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 Πρότυπο:ISBN.
• Πρότυπο:Citation
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157