Ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Στην αριθμητική γεωμετρία, η Ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς Πρότυπο:Math μιας αβελιανής ποικιλίας Πρότυπο:Math (ή γενικότερα ενός ομαδικού σχήματος) που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα Πρότυπο:Math αποτελείται από τα στοιχεία της ομάδας Βέιλ-Σατελέ $\mathrm{W}\mathrm{C}(A/K)=H^1(G_K,A)$, όπου $G_K=\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K^{alg}/K)$ είναι η απόλυτη ομάδα Γαλουά του Πρότυπο:Math, που γίνεται τετριμμένη σε όλες τις συμπληρώσεις του Πρότυπο:Math (δηλ. e., στις πραγματικές και μιγαδικές συμπληρώσεις καθώς και στα Πρότυπο:Math-adic σώματα που προκύπτουν από το Πρότυπο:Math συμπληρώνοντας ως προς όλες τις αρχιμήδειες και μη αρχιμήδειες αποτιμήσεις Πρότυπο:Math). Έτσι, από την άποψη της συνομολογίας Γαλουά, η Πρότυπο:Math) μπορεί να οριστεί ως εξής

$\bigcap _v\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(H^1(G_K,A)\to H^1(G_{K_v},A_v)).$

Η ομάδα αυτή εισήχθη από τους Σερζ Λανγκ και Τζον Τέιτ(Πρότυπο:Sfn ) και τον Ιγκόρ Σαφάρεβιτς(Πρότυπο:Sfn).Ο Κάσελς εισήγαγε τον συμβολισμό Πρότυπο:Math, όπου Πρότυπο:Math αντιστοιχεί στο κυριλλικό γράμμα «Sha», για τον Σαφάρεβιτς, αντικαθιστώντας τον παλαιότερο συμβολισμό Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math.

Στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Γεωμετρικά, τα μη τετριμμένα στοιχεία της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς μπορούν να θεωρηθούν ως οι ομογενείς χώροι του Πρότυπο:Math που έχουν Πρότυπο:Math-ρητά σημεία για κάθε θέση Πρότυπο:Math του Πρότυπο:Math, αλλά κανένα Πρότυπο:Math-ρητό σημείο. Έτσι, η ομάδα μετρά το βαθμό στον οποίο η αρχή Χάσε δεν ισχύει για ρητές εξισώσεις με συντελεστές στο πεδίο K. Ο Καρλ-Ερικ Λιντ έδωσε ένα παράδειγμα ενός τέτοιου ομογενούς χώρου, δείχνοντας ότι η καμπύλη γένους Πρότυπο:Math έχει λύσεις στους πραγματικούς και σε όλα τα Πρότυπο:Math-adic σώματα, αλλά δεν έχει ρητά σημείαΠρότυπο:Sfn. Ο Ερνστ Σ. Σέλμερ έδωσε πολλά ακόμη παραδείγματα, όπως Πρότυπο:Math.Πρότυπο:Sfn

Η ειδική περίπτωση της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς για το πεπερασμένο ομαδικό σχήμα που αποτελείται από σημεία κάποιας δεδομένης πεπερασμένης τάξης Πρότυπο:Math μιας αβελιανής ποικιλίας σχετίζεται στενά με την ομάδα Σέλμερ.

Η εικασία του Τέιτ-Σαφάρεβιτς

Η εικασία Τέιτ-Σαφάρεβιτς δηλώνει ότι η ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς είναι πεπερασμένη. Ο Καρλ Ρούμπιν το απέδειξε αυτό για κάποιες ελλειπτικές καμπύλες τάξης το πολύ 1 με μιγαδικό πολλαπλασιασμό.Πρότυπο:Sfn Ο Βίκτορ Α. Κολυβάγκιν το επέκτεινε σε σπονδυλωτές ελλειπτικές καμπύλες πάνω σε ρητούς αριθμούς αναλυτικού βαθμού το πολύ 1 (Το θεώρημα της δομοστοιχειωτής μορφής έδειξε αργότερα ότι η υπόθεση της σπονδυλωτότητας ισχύει πάντα).Πρότυπο:Sfn

Ζεύγος Κάσελς-Τέιτ

Η αντιστοίχιση Κάσελς-Τέιτ είναι μια διγραμμική αντιστοίχιση Πρότυπο:Math, όπου Πρότυπο:Math είναι μια αβελιανή ποικιλία και Πρότυπο:Math είναι η διπλή της. Ο Κάσελς την εισήγαγε για ελλειπτικές καμπύλες, όταν η Πρότυπο:Math μπορεί να ταυτιστεί με την Πρότυπο:Math και η σύζευξη είναι μια εναλλασσόμενη μορφή.Πρότυπο:Sfn Ο πυρήνας αυτής της μορφής είναι η υποομάδα των διαιρετών στοιχείων, η οποία είναι τετριμμένη αν η εικασία Τέιτ-Σαφάρεβιτς είναι αληθής. Ο Τέιτ επέκτεινε την αντιστοίχιση σε γενικές αβελιανές ποικιλίες, ως παραλλαγή της δυϊκότητας Τέιτ.Πρότυπο:Sfn Μια επιλογή της πόλωσης στην A δίνει έναν χάρτη από την Πρότυπο:Math στην Πρότυπο:Math, ο οποίος επάγει μια διγραμμική ζεύξη στην Πρότυπο:Math με τιμές στην Πρότυπο:Math, αλλά σε αντίθεση με την περίπτωση των ελλειπτικών καμπυλών αυτή δεν χρειάζεται να είναι εναλλασσόμενη ή ακόμη και αντισυμμετρική.

Για μια ελλειπτική καμπύλη, ο Κάσελς έδειξε ότι η αντιστοίχιση είναι εναλλασσόμενη και μια συνέπεια είναι ότι αν η τάξη τουΠρότυπο:Math είναι πεπερασμένη τότε είναι τετράγωνο. Για πιο γενικές αβελιανές ποικιλίες, για πολλά χρόνια θεωρούνταν μερικές φορές λανθασμένα ότι η τάξη της Πρότυπο:Math είναι τετράγωνο όποτε είναι πεπερασμένη- το λάθος αυτό προήλθε από μια εργασία του Σουίνερτον-Ντάιερ,Πρότυπο:Sfn ο οποίος παρέθεσε λανθασμένα ένα από τα αποτελέσματα του Τέιτ.Πρότυπο:Sfn] Οι Πούνεν και Στολ έδωσαν μερικά παραδείγματα όπου η τάξη είναι δύο φορές τετράγωνο, όπως η Ιακωβιανή μιας ορισμένης καμπύλης γένους 2 πάνω στους ρητούς, της οποίας η ομάδα Τέιτ-Σαφάρεβιτς έχει τάξη 2,Πρότυπο:Sfn και ο Στάιν έδωσε μερικά παραδείγματα όπου η δύναμη ενός περιττού πρώτου που διαιρεί την τάξη είναι περιττήΠρότυπο:Sfn. Αν η αβελιανή ποικιλία έχει μια κύρια πόλωση τότε η μορφή της Πρότυπο:Math είναι αντιασυμμετρική, πράγμα που σημαίνει ότι η τάξη της Πρότυπο:Math είναι ένα τετράγωνο ή δύο φορές ένα τετράγωνο (αν είναι πεπερασμένη), και αν επιπλέον η κύρια πόλωση προέρχεται από έναν ρητό διαιρέτη (όπως συμβαίνει στις ελλειπτικές καμπύλες) τότε η μορφή είναι εναλλασσόμενη και η τάξη της Πρότυπο:Math είναι ένα τετράγωνο (αν είναι πεπερασμένη). Από την άλλη πλευρά, βασιζόμενος στα αποτελέσματα που μόλις παρουσιάστηκαν ο Κωνσταντίνους έδειξε ότι για κάθε αριθμό n χωρίς τετράγωνο υπάρχει μια αβελιανή ποικιλία Πρότυπο:Math ορισμένη πάνω στο Πρότυπο:Math και ένας ακέραιος Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math.Πρότυπο:Sfn Ειδικότερα ο Ш είναι πεπερασμένος στα παραδείγματα του Κωνσταντίνους και τα παραδείγματα αυτά επιβεβαιώνουν μια εικασία του Στάιν. Συνεπώς modulo τετράγωνο οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να είναι η τάξη του Πρότυπο:Math.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite thesis
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation English translation in his collected mathematical papers
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:CitationΠρότυπο:Dead link
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite arXiv

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Αλγεβρική ποικιλία
• Τοπολογία
• Αντιμεταθετικός δακτύλιος
• Αριθμητική υπολοίπων

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
• Ranks of Elliptic Curves and Random Matrix Theory
• Heegner Modules and Elliptic Curves
• Basic Structures of Function Field Arithmetic
• Perspectives In Mathematical Science Ii: Pure Mathematics
• Smooth Four-Manifolds and Complex Surfaces