Πίνακας Γκραμ

Στη γραμμική άλγεβρα, ο πίνακας Γκραμ (ή Γκραμιανός πίνακας, Γκραμιανός) ενός συνόλου διανυσμάτων $v_1,\dots ,v_n$ σε ένα χώρο εσωτερικών γινομένων είναι ο ερμιτιανός πίνακας εσωτερικών γινομένων, του οποίου οι εγγραφές δίνονται από το εσωτερικό γινόμενο $G_{ij}=⟨v_i,v_j⟩$.. Αν τα διανύσματα $v_1,\dots ,v_n$ είναι οι στήλες του πίνακα $X$ τότε ο πίνακας Γκραμ είναι $X^{†}X$ στη γενική περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι μιγαδικοί αριθμοί, ο οποίος απλοποιείται σε $X^{\mathrm{\top }}X$ για την περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι πραγματικοί αριθμοί.

Μια σημαντική εφαρμογή είναι ο υπολογισμός της γραμμικής ανεξαρτησίας: ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα Γκραμ (η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ) είναι είναι διάφορη του μηδενός.

Παραδείγματα

Για πεπερασμένων διαστάσεων πραγματικά διανύσματα στο ${ℝ}^n$ με το συνηθισμένο ευκλείδειο τετραγωνικό γινόμενο, ο πίνακας Γκραμ είναι $G=V^{\mathrm{\top }}V$, όπου $V$ είναι ένας πίνακας του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα $v_k$ και $V^{\mathrm{\top }}$ είναι η αντιστροφή του, της οποίας οι γραμμές είναι τα διανύσματα $v_k^{\mathrm{\top }}$. Για μιγαδικά διανύσματα στο ${ℂ}^n$, $G=V^{†}V$, όπου $V^{†}$ είναι η συζυγής μεταφορά του $V$.

Με δεδομένες τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $\{{\ell }_i(\cdot ),i=1,\dots ,n\}$ στο διάστημα $[t_0,t_f]$, ο πίνακας Γκραμ $G=\left[G_{ij}\right]$ είναι:

$G_{ij}=\underset{t_0}{\overset{t_f}{\int }}{\ell }_i^{*}(\tau ){\ell }_j(\tau )d\tau .$

όπου ${\ell }_i^{*}(\tau )$ είναι η μιγαδικός συζυγής του ${\ell }_i(\tau )$.

Για οποιαδήποτε διγραμμική μορφή $B$ σε έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο πάνω από οποιοδήποτε σώμα μπορούμε να ορίσουμε έναν πίνακα Γκραμ $G$ που συνδέεται με ένα σύνολο διανυσμάτων $v_1,\dots ,v_n$ με τη σχέση $G_{ij}=B(v_i,v_j)$. Ο πίνακας θα είναι συμμετρικός αν η διγραμμική μορφή $B$ είναι συμμετρική.

Εφαρμογές

• Στη γεωμετρία του Ρίμαν, δεδομένης μιας ενσωματωμένης $k$-διάστατης πολλαπλότητας του Ρίμαν $M\subset {ℝ}^n$ και μιας παραμετροποίησης $\varphi :U\to M$ για Πρότυπο:Nowrap η μορφή όγκου $\omega$ στην $M$ που επάγεται από την ενσωμάτωση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την Γκραμιανή των εφαπτομενικών διανυσμάτων των συντεταγμένων:

$\omega =\sqrt{\det G}d{x}_1\cdots d{x}_k,G=\left[⟨\frac{\partial \varphi }{\partial x_i},\frac{\partial \varphi }{\partial x_j}⟩\right].$

Αυτό γενικεύει το κλασικό επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας παραμετροποιημένης επιφάνειας $\varphi :U\to S\subset {ℝ}^3$ for $(x,y)\in U\subset {ℝ}^2$

$\underset{S}{\int }fdA=\underset{U}{\iint }f(\varphi (x,y))|\frac{\partial \varphi }{\partial x}\times \frac{\partial \varphi }{\partial y}|dxdy.$

• Αν τα διανύσματα είναι κεντραρισμένες τυχαίες μεταβλητές, η Γκραμιανή είναι περίπου ανάλογη του πίνακα συνδιακύμανσης, με την κλιμάκωση να καθορίζεται από τον αριθμό των στοιχείων του διανύσματος.
• Στην κβαντική χημεία, ο πίνακας Γκραμ ενός συνόλου διανυσμάτων βάσης είναι ο πίνακας επικάλυψης.
• Στη θεωρία ελέγχου (ή γενικότερα στη θεωρία συστημάτων), η Γκράμιαν της δυνατότητας ελέγχου και η Γκράμιαν της δυνατότητας παρατήρησης καθορίζουν τις ιδιότητες ενός γραμμικού συστήματος.
• Οι πίνακες Γκραμ προκύπτουν στην προσαρμογή μοντέλων δομής συνδιακύμανσης (βλέπε π.χ. Τζαμσίντιαν και Μπέντλερ, 1993, Εφαρμοσμένη Ψυχολογική Μέτρηση, τόμος 18, σελ. 79-94).
• Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, ο πίνακας Γκραμ προκύπτει από την προσέγγιση μιας συνάρτησης από έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο- οι καταχωρήσεις του πίνακα Γκραμ είναι τότε τα εσωτερικά γινόμενα των συναρτήσεων βάσης του πεπερασμένης διάστασης υποχώρου.
• Στη μηχανική μάθηση, οι συναρτήσεις πυρήνα συχνά αναπαρίστανται ως πίνακες Γκραμ (βλέπε επίσης Κερνέλ PCA).
• Επειδή ο πίνακας Γκραμ πάνω στους πραγματικούς είναι συμμετρικός πίνακας, είναι διαγωνοποιήσιμος και οι ιδιοτιμές του είναι μη αρνητικές. Η διαγωνοποίηση του πίνακα Γκραμ είναι η Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές.

Θετικός-θετικός ημιτελής

Ο πίνακας Γκραμ είναι συμμετρικός στην περίπτωση που το πραγματικό γινόμενο είναι πραγματικής αξίας- είναι ερμιτιανός στη γενική, μιγαδική περίπτωση λόγω του ορισμού του εσωτερικού γινομένου.

Ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής και κάθε θετικός ημιτελής πίνακας είναι ο πίνακας Γκραμ για κάποιο σύνολο διανυσμάτων. Το γεγονός ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής μπορεί να φανεί από την ακόλουθη απλή παραγώγιση:

$x^{†}𝐆x=\sum _{i,j}{x}_i^{*}{x}_j⟨v_i,v_j⟩=\sum _{i,j}⟨x_i{v}_i,x_j{v}_j⟩=⟨\sum _i{x}_i{v}_i,\sum _j{x}_j{v}_j⟩=\Vert \sum _i{x}_i{v}_i{\Vert }^2\ge 0.$

Η πρώτη ισότητα προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού πινάκων, η δεύτερη και η τρίτη από τη διγραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου και η τελευταία από τη θετική οριστικότητα του εσωτερικού γινομένου. Ας σημειωθεί ότι αυτό δείχνει επίσης ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν τα διανύσματα $v_i$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα (δηλαδή, $\sum _i{x}_i{v}_i\ne 0$ για όλα τα $x$).

Εύρεση μιας διανυσματικής υλοποίησης

Δεδομένου οποιουδήποτε θετικού ημιπεριορισμένου πίνακα $M$, μπορεί κανείς να τον αναλύσει ως εξής:

$M=B^{†}B$,

όπου $B^{†}$ είναι η συζυγής μεταφορά του $B$ (ή $M=B^{\mathsf{\text{T}}}B$ στην πραγματική περίπτωση).

Εδώ ο $B$ είναι ένας $k\times n$ πίνακας, όπου $k$ είναι η τάξη του $M$. Διάφοροι τρόποι για να ληφθεί μια τέτοια ανάλυση περιλαμβάνουν τον υπολογισμό της αποσύνθεσης Τσολέσκι ή τη λήψη της μη αρνητικής τετραγωνικής ρίζας του $M$.

Οι στήλες $b^{(1)},\dots ,b^{(n)}$ του $B$ μπορούν να θεωρηθούν ως n διανύσματα στο ${ℂ}^k$ (ή στον k -διάστατο Ευκλείδειο χώρο ${ℝ}^k$, στην πραγματική περίπτωση). Τότε

$M_{ij}=b^{(i)}\cdot b^{(j)}$

όπου το εσωτερικό γινόμενο $a\cdot b={\sum }_{\ell =1}^k{a}_{\ell }^{*}{b}_{\ell }$ είναι το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στο ${ℂ}^k$.

Έτσι, ένας ερμιτιανός πίνακας $M$ είναι θετικός ημιτελής αν και μόνο αν είναι ο πίνακας Γκραμ κάποιων διανυσμάτων $b^{(1)},\dots ,b^{(n)}$. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται διανυσματική υλοποίηση του Πρότυπο:Nowrap Το απειροδιάστατο ανάλογο αυτής της δήλωσης είναι το θεώρημα του Μερσέρ.

Μοναδικότητα των διανυσματικών υλοποιήσεων

Αν $M$ είναι ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων $v_1,\dots ,v_n$ στο ${ℝ}^k$ τότε η εφαρμογή οποιασδήποτε περιστροφής ή ανάκλασης του ${ℝ}^k$ (οποιοσδήποτε ορθογώνιος μετασχηματισμός, δηλαδή οποιαδήποτε ευκλείδεια ισομετρία που διατηρεί το 0) στην ακολουθία των διανυσμάτων οδηγεί στον ίδιο πίνακα Γκραμ. Δηλαδή, για κάθε $k\times k$ ορθογώνιο πίνακα $Q$, ο πίνακας Γκραμ του $Q{v}_1,\dots ,Q{v}_n$ είναι επίσης Πρότυπο:Nowrap}

Αυτός είναι ο μόνος τρόπος με τον οποίο δύο πραγματικές διανυσματικές υλοποιήσεις του $M$ μπορούν να διαφέρουν: τα διανύσματα $v_1,\dots ,v_n$ είναι μοναδικά μέχρι ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Με άλλα λόγια, τα τετραγωνικά γινόμενα $v_i\cdot v_j$ και $w_i\cdot w_j$ είναι ίσα αν και μόνο αν κάποιος άκαμπτος μετασχηματισμός του ${ℝ}^k$ μετασχηματίζει τα διανύσματα $v_1,\dots ,v_n$ σε $w_1,\dots ,w_n$ και 0 σε 0.

Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση των μιγαδικών, με μοναδιαίους μετασχηματισμούς στη θέση των ορθογώνιων. Δηλαδή, αν ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων $v_1,\dots ,v_n$ είναι ίσος με τον πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων $w_1,\dots ,w_n$ στο ${ℂ}^k$ τότε υπάρχει ένας μοναδιαίος $k\times k$ πίνακας $U$ (δηλαδή $U^{†}U=I$) τέτοιος ώστε $v_i=U{w}_i$ για $i=1,\dots ,n$.

Άλλες ιδιότητες

• Επειδή $G=G^{†}$, είναι απαραίτητο να ισχύει ότι $G$ και $G^{†}$ αντιμετατίθενται. Δηλαδή, ένας πραγματικός ή μιγαδικός πίνακας Γκραμ $G$ είναι επίσης ένας κανονικός πίνακας.
• Ο πίνακας Γκραμ οποιασδήποτε ορθοκανονικής βάσης είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ισοδύναμα, ο πίνακας Gram των γραμμών ή των στηλών ενός πραγματικού πίνακα περιστροφής είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ομοίως, ο πίνακας Γκραμ των γραμμών ή των στηλών ενός μοναδιαίου πίνακα είναι ο πίνακας ταυτότητας.
• Ο βαθμός του πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων στο ${ℝ}^k$ ή ${ℂ}^k$ ισούται με τη διάσταση του χώρου που καλύπτουν τα διανύσματα αυτά.

Ορίζουσα Γκραμ

H Ορίζουσα Γκραμ ή Γκραμιανή είναι η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ:

$|G(v_1,\dots ,v_n)|=\left|\begin{array}{cccc}⟨v_1,v_1⟩& ⟨v_1,v_2⟩& \dots & ⟨v_1,v_n⟩\\ ⟨v_2,v_1⟩& ⟨v_2,v_2⟩& \dots & ⟨v_2,v_n⟩\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ ⟨v_n,v_1⟩& ⟨v_n,v_2⟩& \dots & ⟨v_n,v_n⟩\end{array}\right|.$

Αν $v_1,\dots ,v_n$ είναι διανύσματα στο ${ℝ}^m$ τότε είναι το τετράγωνο του n-διάστατου όγκου του παραλληλότοπου που σχηματίζεται από τα διανύσματα. Ειδικότερα, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν και μόνο αν ο παραλληλότοπος έχει μη μηδενικό n-διάστατο όγκο, αν και μόνο αν η ορίζουσα Γκραμ είναι μη μηδενική, αν και μόνο αν ο πίνακας Γκραμ είναι μη-σημαδιακός. Όταν Πρότυπο:Nowrap η ορίζουσα και ο όγκος είναι μηδέν. Όταν Πρότυπο:Nowrap, αυτό ανάγεται στο τυπικό θεώρημα ότι η απόλυτη τιμή της ορίζουσας n n διαστάσεων διανυσμάτων είναι ο n διαστάσεων όγκος. Η ορίζουσα Γκραμ είναι επίσης χρήσιμος για τον υπολογισμό του όγκου του simplex (απλού) σχήματος που σχηματίζεται από τα διανύσματα- ο όγκος του είναι Πρότυπο:Math}.

Η ορίζουσα Γκραμ μπορεί επίσης να εκφραστεί ως προς το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ως εξής

$|G(v_1,\dots ,v_n)|=\Vert v_1\wedge \cdots \wedge v_n{\Vert }^2.$

Όταν τα διανύσματα $v_1,\dots ,v_n\in {ℝ}^m$ ορίζονται από τις θέσεις των σημείων $p_1,\dots ,p_n$ σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς $p_{n+1}$,

$(v_1,v_2,\dots ,v_n)=(p_1-p_{n+1},p_2-p_{n+1},\dots ,p_n-p_{n+1}),$

τότε η ορίζουσα Γκραμ μπορεί να γραφεί ως η διαφορά δύο ορίζουσες Γκραμ,

$|G(v_1,\dots ,v_n)|=|G((p_1,1),\dots ,(p_{n+1},1))|-|G(p_1,\dots ,p_{n+1})|,$

όπου κάθε $(p_j,1)$ είναι το αντίστοιχο σημείο $p_j$ συμπληρωμένο με την τιμή της συντεταγμένης 1 για μια διάσταση $(m+1)$-st. Ας σημειωθεί ότι στην κοινή περίπτωση που Πρότυπο:Math, ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά θα είναι μηδέν.

Κατασκευή ορθοκανονικής βάσης

Δεδομένου ενός συνόλου γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων $\{v_i\}$ με τον πίνακα Γκραμ $G$ που ορίζεται από τη σχέση $G_{ij}:=⟨v_i,v_j⟩$, μπορεί κανείς να κατασκευάσει μια ορθοκανονική βάση

$u_i:=\sum _j(G^{-1/2}{)}_{ji}{v}_j.$

Σε συμβολισμό πινάκων, $U=V{G}^{-1/2}$, όπου το $U$ έχει ορθοκανονικά διανύσματα βάσης $\{u_i\}$ και ο πίνακας $V$ αποτελείται από τα συγκεκριμένα διανύσματα στήλης $\{v_i\}$.

Ο πίνακας $G^{-1/2}$ είναι εγγυημένα υπαρκτός. Πράγματι, ο $G$ είναι Ερμιτιανός και έτσι μπορεί να αναλυθεί ως $G=UD{U}^{†}$ με $U$ έναν μοναδιαίο πίνακα και $D$ έναν πραγματικό διαγώνιο πίνακα. Επιπλέον, οι $v_i$ είναι γραμμικά ανεξάρτητοι αν και μόνο αν ο $G$ είναι θετικά ορισμένος, πράγμα που σημαίνει ότι οι διαγώνιες εγγραφές του $D$ είναι θετικές. Επομένως, η $G^{-1/2}$ ορίζεται μοναδικά από τη σχέση $G^{-1/2}:=U{D}^{-1/2}{U}^{†}$. Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι αυτά τα νέα διανύσματα είναι ορθοκανονικά:

$\begin{array}{cc}⟨u_i,u_j⟩& =\sum _{i^{\prime }}\sum _{j^{\prime }}⟨(G^{-1/2}{)}_{i^{\prime }i}{v}_{i^{\prime }},(G^{-1/2}{)}_{j^{\prime }j}{v}_{j^{\prime }}⟩\\ & =\sum _{i^{\prime }}\sum _{j^{\prime }}\left(G^{-1/2}{)}_{i{i}^{\prime }}{G}_{i^{\prime }{j}^{\prime }}\right(G^{-1/2}{)}_{j^{\prime }j}\\ & =(G^{-1/2}G{G}^{-1/2}{)}_{ij}={\delta }_{ij}\end{array}$

όπου χρησιμοποιείται $(G^{-1/2}{)}^{†}=G^{-1/2}$.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Ερμιτιανός πίνακας
• Ακέραια περιοχή
• Ορίζουσα
• Αλεξάντερ Γκρότεντικ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Elementary Matrix Theory
• Applied Linear Algebra
• Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
• Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
• Linear Algebra and Geometry
• Geophysical Inverse Theory
• Introduction to Applied Linear Algebra: Vectors, Matrices, and Least Squares

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book