Σημείο καμπής
Στο Διαφορικό λογισμό και τη διαφορική γεωμετρία, σημείο καμπής[1][2], ή καμπή (σπάνια καμπή) είναι το σημείο μιας ομαλής επίπεδης καμπύλης όπου η καμπυλότητα αλλάζει πρόσημο. Ειδικότερα, στην περίπτωση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης, είναι ένα σημείο όπου η συνάρτηση αλλάζει από κοίλη (κοίλη προς τα κάτω) σε κυρτή (κοίλη προς τα πάνω), ή το αντίστροφο.
Για τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης Πρότυπο:Math της κλάσης διαφορισιμότητας Πρότυπο:Math (η πρώτη παράγωγος Πρότυπο:Math, και η δεύτερη παράγωγος Πρότυπο:Math, υπάρχουν και είναι συνεχείς), η συνθήκη Πρότυπο:Math μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση ενός σημείου καμπής, αφού ένα σημείο της Πρότυπο:Math πρέπει να περάσει για να αλλάξει η Πρότυπο:Math από μια θετική τιμή (κοίλη προς τα πάνω) σε μια αρνητική τιμή (κοίλη προς τα κάτω) ή το αντίστροφο, καθώς η Πρότυπο:Math είναι συνεχής- ένα σημείο καμπής της καμπύλης είναι εκεί όπου η Πρότυπο:Math και αλλάζει το πρόσημό της στο σημείο αυτό (από θετικό σε αρνητικό ή από αρνητικό σε θετικό).[3] Ένα σημείο όπου η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται αλλά δεν αλλάζει το πρόσημό της ονομάζεται μερικές φορές σημείο κυματισμού.
Στην αλγεβρική γεωμετρία ένα σημείο καμπής ορίζεται λίγο πιο γενικά, ως ένα κανονικό σημείο όπου η εφαπτομένη συναντά την καμπύλη σε τάξη τουλάχιστον 3, και ένα σημείο κυματισμού ή υπερχείλισης ορίζεται ως ένα σημείο όπου η εφαπτομένη συναντά την καμπύλη σε τάξη τουλάχιστον 4.
Ορισμός
Τα σημεία καμπής στη διαφορική γεωμετρία είναι τα σημεία της καμπύλης όπου η καμπυλότητα αλλάζει πρόσημο.[4][5]
Παραδείγματος χάριν, η γραφική παράσταση της διαφορίσιμης συνάρτησης έχει σημείο καμπής στο Πρότυπο:Math αν και μόνο αν η πρώτη παράγωγος Πρότυπο:Mvar έχει ένα απομονωμένο ακρότατο στο Πρότυπο:Mvar. (αυτό δεν είναι το ίδιο με το να πούμε ότι η Πρότυπο:Mvar έχει ακρότατο). Δηλαδή, σε κάποια γειτονιά, το Πρότυπο:Mvar είναι το ένα και μοναδικό σημείο στο οποίο το Πρότυπο:Mvar έχει (τοπικό) ελάχιστο ή μέγιστο. Αν όλα τα ακρότατα της Πρότυπο:Mvar είναι απομονωμένα, τότε ένα σημείο καμπής είναι ένα σημείο στη γραφική παράσταση της Πρότυπο:Mvar στο οποίο η εφαπτομένη τέμνει την καμπύλη.
Ένα "σημείο καμπής με πτώση" είναι ένα σημείο καμπής όπου η παράγωγος είναι αρνητική και στις δύο πλευρές του σημείου- με άλλα λόγια, είναι ένα σημείο καμπής κοντά στο οποίο η συνάρτηση μειώνεται. Ένα αυξανόμενο σημείο καμπής είναι ένα σημείο όπου η παράγωγος είναι θετική και στις δύο πλευρές του σημείου- με άλλα λόγια, είναι ένα σημείο καμπής κοντά στο οποίο η συνάρτηση αυξάνεται.
Για μια ομαλή καμπύλη που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις, ένα σημείο είναι σημείο καμπής εάν η προσημασμένη καμπυλότητα του αλλάζει από συν σε μείον ή από μείον σε συν, δηλαδή αλλάζει πρόσημο.
Για μια ομαλή καμπύλη που είναι η γραφική παράσταση μιας διπλά διαφορίσιμης συνάρτησης, σημείο καμπής είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης στο οποίο η δεύτερη παράγωγος έχει απομονωμένο μηδέν και αλλάζει πρόσημο.
Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένα μη μοναδιαίο σημείο μιας αλγεβρικής καμπύλης είναι σημείο καμπής εάν και μόνο εάν ο αριθμός τομής της εφαπτομένης γραμμής και της καμπύλης (στο σημείο εφαπτομένης) είναι μεγαλύτερος από 2. Το κύριο κίνητρο αυτού του διαφορετικού ορισμού είναι ότι διαφορετικά το σύνολο των σημείων καμπής μιας καμπύλης δεν θα ήταν αλγεβρικό σύνολο. Στην πραγματικότητα, το σύνολο των σημείων καμπής μιας επίπεδης αλγεβρικής καμπύλης είναι ακριβώς τα μη-ιδιάζοντα σημεία της που είναι μηδενικά της ορίζουσας του Έσσε[6] της προβολικής ολοκλήρωσης .
Απαραίτητη αλλά όχι επαρκής προϋπόθεση
Για μια συνάρτηση f, αν η δεύτερη παράγωγος της f″(x) υπάρχει στο Πρότυπο:Math και το Πρότυπο:Math είναι σημείο καμπής για την Πρότυπο:Mvar, τότε f″(x0) = 0, αλλά αυτή η συνθήκη δεν είναι επαρκής για την ύπαρξη σημείου καμπής, ακόμη και αν υπάρχουν παράγωγοι οποιασδήποτε τάξης. Στην περίπτωση αυτή, χρειάζεται επίσης η χαμηλότερης τάξης (πάνω από τη δεύτερη) μη μηδενική παράγωγος να είναι περιττής τάξης (τρίτη, πέμπτη κ.λπ.). Εάν η χαμηλότερης τάξης μη μηδενική παράγωγος είναι άρτιας τάξης, το σημείο δεν είναι σημείο καμπής, αλλά σημείο κυματισμού. Ωστόσο, στην αλγεβρική γεωμετρία, τόσο τα σημεία καμπής όσο και τα σημεία κυμάτωσης ονομάζονται συνήθως σημεία καμπής. Ένα παράδειγμα σημείου κυμάτωσης είναι το x = 0 για τη συνάρτηση Πρότυπο:Mvar που δίνεται από τη σχέση Πρότυπο:Math.
Στους προηγούμενους ισχυρισμούς, υποτίθεται ότι η Πρότυπο:Mvar έχει κάποια ανώτερης τάξης μη μηδενική παράγωγο στο Πρότυπο:Mvar, πράγμα που δεν είναι απαραίτητα αληθές. Αν συμβαίνει αυτό, η συνθήκη ότι η πρώτη μη μηδενική παράγωγος έχει περιττή τάξη συνεπάγεται ότι το πρόσημο της Πρότυπο:Math είναι το ίδιο και στις δύο πλευρές του Πρότυπο:Mvar σε μια γειτονιά του Πρότυπο:Mvar. Αν το πρόσημο αυτό είναι θετικό, το σημείο είναι ένα ανοδικό σημείο καμπής- αν είναι αρνητικό, το σημείο είναι ένα καθοδικό σημείο καμπής.
Επαρκείς συνθήκες σημείων καμπής:
- Μια ικανή συνθήκη ύπαρξης σημείου καμπής στην περίπτωση που Πρότυπο:Math είναι Πρότυπο:Mvar φορές συνεχώς διαφορίσιμη σε μια ορισμένη γειτονιά ενός σημείου Πρότυπο:Mvar με Πρότυπο:Mvar περιττό και Πρότυπο:Math, είναι ότι f(n)(x0) = 0 για Πρότυπο:Math και f(k)(x0) ≠ 0. Τότε η Πρότυπο:Math έχει σημείο καμπής στο Πρότυπο:Mvar.
- Μια άλλη γενικότερη επαρκής συνθήκη ύπαρξης απαιτεί οι f″(x0 + ε) και f″(x0 − ε) να έχουν αντίθετα πρόσημα στη γειτονιά του Πρότυπο:Math (Μπρόνστειν και Σεμεντιάγιεφ[7] 2004, σ. 231).
Κατηγοριοποίηση των σημείων καμπής
Τα σημεία καμπής μπορούν επίσης να κατηγοριοποιηθούν ανάλογα με το αν η f'(x) είναι μηδενική ή μη μηδενική[8].
- αν η f'(x) είναι μηδέν, το σημείο είναι σταθερό σημείο καμπής
- αν η f'(x) δεν είναι μηδέν, το σημείο είναι μη σταθερό σημείο καμπής
Ένα σταθερό σημείο καμπής δεν είναι τοπικό ακρότατο. Γενικότερα, στο πλαίσιο συναρτήσεων πολλών πραγματικών μεταβλητών, ένα στάσιμο σημείο που δεν είναι τοπικό ακρότατο ονομάζεται σημείο σέλας.
Ένα παράδειγμα στάσιμου σημείου καμπής είναι το σημείο Πρότυπο:Math στη γραφική παράσταση της Πρότυπο:Math. Η εφαπτομένη είναι ο άξονας Πρότυπο:Mvar, ο οποίος τέμνει τη γραφική παράσταση σε αυτό το σημείο.
Ένα παράδειγμα μη σταθερού σημείου καμπής είναι το σημείο Πρότυπο:Math στη γραφική παράσταση της Πρότυπο:Math, για οποιοδήποτε μη μηδενικό Πρότυπο:Mvar. Η εφαπτομένη στην αρχή είναι η ευθεία Πρότυπο:Math, η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση σε αυτό το σημείο.
Συναρτήσεις με ασυνέχειες
Ορισμένες συναρτήσεις αλλάζουν κοιλότητα χωρίς να έχουν σημεία καμπής[9]. Αντ' αυτού, μπορούν να αλλάζουν κοιλότητα γύρω από κατακόρυφες ασυμπτώτους ή ασυνέχειες. Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση είναι κοίλη για αρνητική Πρότυπο:Mvar και κυρτή για θετική Πρότυπο:Mvar, αλλά δεν έχει σημεία καμπής επειδή το 0 δεν είναι στο πεδίο της συνάρτησης.
Συναρτήσεις με σημεία καμπής των οποίων η δεύτερη παράγωγος δεν μηδενίζεται
Ορισμένες συνεχείς συναρτήσεις έχουν σημείο καμπής παρόλο που η δεύτερη παράγωγος δεν είναι ποτέ 0. Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση της κυβικής ρίζας είναι κοίλη προς τα πάνω όταν το x είναι αρνητικό, και κοίλη προς τα κάτω όταν το x είναι θετικό, αλλά δεν έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης στην αρχή.
Δείτε επίσης
- Field Arithmetic
- Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
- Ερμιτιανός πίνακας
- Ακέραια περιοχή
- Ορίζουσα
- Αλεξάντερ Γκρότεντικ
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Matrix Analysis
- Mathematics for Physical Chemistry
- Applied Linear Algebra
- Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
- Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
- Linear Algebra and Geometry
- Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach
- A Mathematics Course for Political and Social Research