Αντιμεταθετικός πίνακας

Στα μαθηματικά, ιδίως στη γραμμική άλγεβρα και στη θεωρία πινάκων, ο αντιμεταθετικός πίνακας χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της διανυσματικής μορφής ενός πίνακα στη διανυσματική μορφή της αναστροφής του. Συγκεκριμένα, ο αντιμεταθετικός πίνακας K^(m,n) είναι ο πίνακας nm × mn ο οποίος, για οποιονδήποτε πίνακα m × n A, μετασχηματίζει τον vec(A) σε vec(A^T):

K^(m,n) vec(A) = vec(A^T).

Εδώ vec('A) είναι το mn × 1 διάνυσμα στηλών που προκύπτει από τη στοίβαξη των στηλών του A' η μία πάνω στην άλλη:

$\mathrm{vec}(𝐀)=[{𝐀}_{1,1},\dots ,{𝐀}_{m,1},{𝐀}_{1,2},\dots ,{𝐀}_{m,2},\dots ,{𝐀}_{1,n},\dots ,{𝐀}_{m,n}{]}^{\mathrm{T}}$

όπου A = [A_i,j]. Με άλλα λόγια, το vec(A) είναι το διάνυσμα που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση του A σε σειρά στήλης-μεγάλης κλίμακας. Ομοίως, vec(A^T) είναι το διάνυσμα που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση του A σε σειρά γραμμής-πλειοψηφίας.

Στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας πληροφοριών, ο αντιμεταθετικός πίνακας αναφέρεται μερικές φορές ως πίνακας ανταλλαγής ή τελεστής ανταλλαγής.

Ιδιότητες

• Ο αντιμεταθετικός πίνακας είναι ένας ειδικός τύπος του αντιμεταθετικού πίνακα και επομένως είναι ορθογώνιος. Ειδικότερα, ο K^(m,n) είναι ίσος με ${𝐏}_{\pi }$, όπου $\pi$ είναι η αντιμετάθεση πάνω στο $\{1,\dots ,mn\}$ για την οποία

$\pi (i+m(j-1))=j+n(i-1),i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n.$

• Η αντικατάσταση του A με το A^T στον ορισμό του αντιμεταθετικού πίνακα δείχνει ότι Πρότυπο:Nowrap Επομένως, στην ειδική περίπτωση m = n ο αντιμεταθετικός πίνακας είναι μια ενέλιξη και είναι συμμετρικός.

• Η κύρια χρήση του αντιμεταθετικού πίνακα, και η πηγή του ονόματός του, είναι η αντιμετάθεση του γινομένου Κρόνεκερ: για κάθε m × n πίνακα A και κάθε r × q πίνακα B,

${𝐊}^{(r,m)}(𝐀\otimes 𝐁){𝐊}^{(n,q)}=𝐁\otimes 𝐀.$

Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά στην ανάπτυξη των στατιστικών ανώτερης τάξης των πινάκων συνδιακύμανσης Wishart.

• Η περίπτωση n=q=1 για την παραπάνω εξίσωση δηλώνει ότι για οποιαδήποτε διανύσματα στήλης v,w μεγεθών m,r αντίστοιχα,

${𝐊}^{(r,m)}(𝐯\otimes 𝐰)=𝐰\otimes 𝐯.$

Αυτή η ιδιότητα είναι ο λόγος που ο πίνακας αυτός αναφέρεται ως «τελεστής ανταλλαγής» στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας της πληροφορίας.

• Δύο ρητές μορφές για τον αντιμεταθετικό πίνακα είναι οι εξής: αν e_r,j δηλώνει το j-οστό κανονικό διάνυσμα διάστασης r (δηλαδή το διάνυσμα με 1 στην j-th συντεταγμένη και 0 αλλού) τότε

${𝐊}^{(r,m)}=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m\left({𝐞}_{r,i}{{𝐞}_{m,j}}^{\mathrm{T}}\right)\otimes \left({𝐞}_{m,j}{{𝐞}_{r,i}}^{\mathrm{T}}\right)=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m({𝐞}_{r,i}\otimes {𝐞}_{m,j}){({𝐞}_{m,j}\otimes {𝐞}_{r,i})}^{\mathrm{T}}.$

• Ο αντιμεταθετικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως ο ακόλουθος σύνθετος πινάκας :

${𝐊}^{(m,n)}=\left[\begin{array}{ccc}{𝐊}_{1,1}& \cdots & {𝐊}_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {𝐊}_{m,1}& \cdots & {𝐊}_{m,n},\end{array}\right],$

Όπου η εγγραφή p,q του n x m σύνθετος πινάκας K_i,j δίνεται από τη σχέση

${𝐊}_{ij}(p,q)=\{\begin{array}{cc}1& i=q\text{ και }j=p,\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$

Παραδείγματος χάριν,

${𝐊}^{(3,4)}=\left[\begin{array}{cccccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

Κωδικός

Τόσο για τετραγωνικούς όσο και για ορθογώνιους πίνακες m γραμμών και n στηλών, ο αντιμεταθετικός πίνακας μπορεί να παραχθεί με τον παρακάτω κώδικα.

Python

import numpy as np


def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    w = np.arange(m * n).reshape((m, n), order="F").T.ravel(order="F")

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix and return result
    return np.eye(m * n)[w, :]

Εναλλακτικά, μια έκδοση χωρίς εισαγωγές:

# Kronecker delta
def delta(i, j):
    return int(i == j)


def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    v = [m * j + i for i in range(m) for j in range(n)]

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
    I = [[delta(i, j) for j in range(m * n)] for i in range(m * n)]
    return [I[i] for i in v]

MATLAB

function P = com_mat(m, n)

% determine permutation applied by K
A = reshape(1:m*n, m, n);
v = reshape(A', 1, []);

% apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
P = eye(m*n);
P = P(v,:);

R

# Sparse matrix version
comm_mat = function(m, n){
  i = 1:(m * n)
  j = NULL
  for (k in 1:m) {
    j = c(j, m * 0:(n-1) + k)
  }
  Matrix::sparseMatrix(
    i = i, j = j, x = 1
  )
}

Παράδειγμα

Έστω $A$ ο ακόλουθος πίνακας $3\times 2$:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right].$

$A$ έχει τις ακόλουθες διανυσματοδοτήσεις μείζονος στήλης και μείζονος γραμμής (αντίστοιχα):

${𝐯}_{\text{col}}=\mathrm{vec}(A)=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\end{array}\right],{𝐯}_{\text{row}}=\mathrm{vec}(A^{\mathrm{T}})=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\\ 5\\ 3\\ 6\end{array}\right].$

Ο σχετικός σύνθετος πινάκας είναι

$K={𝐊}^{(3,2)}=\left[\begin{array}{cccccc}1& \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 1& \cdot & \cdot \\ \cdot & 1& \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1& \cdot \\ \cdot & \cdot & 1& \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1\end{array}\right],$

(όπου κάθε $\cdot$ δηλώνει ένα μηδέν). Όπως αναμενόταν, ισχύουν τα ακόλουθα:

$K^{\mathrm{T}}K=K{K}^{\mathrm{T}}={𝐈}_6$

$K{𝐯}_{\text{col}}={𝐯}_{\text{row}}$

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Φυσικός αριθμός
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Διάνυσμα
• Ισομορφισμός
• Ταυτοτικός πίνακας

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
• The Statistics and Calculus with Python Workshop: A comprehensive ..
• Generalized Vectorization, Cross-Products, and Matrix Calculus
• Matrix Variate Distributions

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Iwaniec and Kowalski, Analytic number theory, AMS (2004).