Συμμετρία ως προς σημείο

Πρότυπο:Multiple image Στην γεωμετρία, ένα σημείο $\mathrm{A}$ είναι συμμετρικό του σημείου ${\mathrm{A}}^{\prime }$ ως προς το σημείο $\mathrm{O}$, αν το $\mathrm{O}$ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$. Το σημείο $\mathrm{O}$ λέγεται το κέντρο συμμετρίας τους.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Δύο γεωμετρικά σχήματα $\mathrm{\Sigma }$ και ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ λέγονται συμμετρικά ως προς το σημείο $\mathrm{O}$, αν για κάθε σημείο $\mathrm{A}$ του $\mathrm{\Sigma }$ το συμμετρικό του ανήκει στο ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ και αντίστροφα.

Κέντρο συμμετρίας

Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος $\mathrm{\Sigma }$ ονομάζεται ένα σημείο $\mathrm{O}$ για το οποίο το $\mathrm{\Sigma }$ είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς το $\mathrm{O}$.

Παραδείγματα

• Το κέντρο ενός κύκλου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το κέντρο μίας έλλειψης είναι κέντρο συμμετρίας της.
• Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού εξαγώνου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Η γραφική παράσταση μίας περιττής συνάρτησης έχει ως κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Ιδιότητες

• Δύο σχήματα συμμετρικά ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι ίσα.
• Ένα σχήμα με δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους έχει και κέντρο συμμετρίας, την τομή αυτών των αξόνων.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω $\mathrm{P}=({\mathrm{P}}_x,{\mathrm{P}}_y)$ και $\mathrm{O}=({\mathrm{O}}_x,{\mathrm{O}}_y)$ δύο σημεία του επιπέδου. Το συμμετρικό ${\mathrm{P}}^{\prime }$ του $\mathrm{P}$ ως προς το $\mathrm{O}$ δίνεται από την εξίσωση

$\overrightarrow{{\mathrm{P}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{P}}-2\cdot (\overrightarrow{\mathrm{P}}-\overrightarrow{\mathrm{O}})=2\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}}-\overrightarrow{\mathrm{P}}$.

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του σημείου δίνονται από

$\left(\begin{array}{c}{{\mathrm{P}}^{\prime }}_x\\ {{\mathrm{P}}^{\prime }}_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2{\mathrm{O}}_x-{\mathrm{P}}_x\\ 2{\mathrm{O}}_y-{\mathrm{P}}_y\end{array}\right)$.

Δείτε επίσης

• Συμμετρία ως προς άξονα
• Αντιδιαμετρικό σημείο