Συμμετρία ως προς άξονα

Στην γεωμετρία, ένα σημείο $\mathrm{A}$ λέγεται συμμετρικό του σημείου ${\mathrm{A}}^{\prime }$ ως προς την ευθεία $\epsilon$, αν η $\epsilon$ είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος $\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$. Η ευθεία $\epsilon$ λέγεται o άξονας συμμετρίας τους.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Δύο γεωμετρικά σχήματα $\mathrm{\Sigma }$ και ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία $\epsilon$, αν για κάθε σημείο του $\mathrm{\Sigma }$ το συμμετρικό του ανήκει στο ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ και αντίστροφα.

Άξονας συμμετρίας

Άξονας συμμετρίας ενός σχήματος $\mathrm{\Sigma }$ ονομάζεται μία ευθεία $\epsilon$ για την οποία το $\mathrm{\Sigma }$ είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς την $\epsilon$.

Παραδείγματα

• Η διχοτόμος μίας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας.
• Η μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι και άξονας συμμετρίας της.
• Ένα τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας, τις δύο διαγωνίους του και τις δύο μεσοκαθέτους των απέναντι πλευρών. Ένα ορθογώνιο έχει μόνο τις δύο μεσοκαθέτους.
• Ένα κανονικό εξάγωνο έχει έξι άξονες συμμετρίας.
• Ένας κύκλος άπειρους άξονες συμμετρίας, κάθε ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.
• Μία έλλειψη (που δεν είναι κύκλος) έχει δύο άξονες συμμετρίας.
• Μία άρτια συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $y{y}^{\prime }$.

Ιδιότητες

• Δύο σχήματα συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας είναι ίσα.
• Ένα σχήμα με δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους έχει και κέντρο συμμετρίας, την τομή αυτών των αξόνων.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω ένα σημείο $\mathrm{P}$ και μία ευθεία που διέρχεται από το σημείο ${\mathrm{x}}_0$ και έχει διεύθυνση $\overrightarrow{d}$. Τότε, το συμμετρικό του σημείου $\mathrm{P}$ ως προς την ευθεία είναι το σημείο ${\mathrm{P}}^{\prime }$ που δίνεται από την σχέση

${\mathrm{P}}^{\prime }=2{\mathrm{x}}_0-\mathrm{P}+2\cdot \frac{(\mathrm{P}-{\mathrm{x}}_0)\cdot \overrightarrow{d}}{\sqrt{\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{d}}}\cdot \overrightarrow{d}$.

Δείτε επίσης

• Συμμετρία ως προς σημείο
• Συμμετροδιάμεσος τριγώνου