Σύγκλιση υπό συνθήκη

Στα μαθηματικά, μια σειρά λέμε ότι συγκλίνει υπό συνθήκη (ή ότι είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσα) αν συγκλίνει μεν, αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.

Ορισμός

Πιο συγκεκριμένα, μια σειρά ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ λέμε ότι συγκλίνει υπό συνθήκη αν το όριο $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\sum }_{n=0}^m{a}_n$ υπάρχει (ως ένας πεπερασμένος πραγματικός αριθμός, δηλ. όχι $\mathrm{\infty }$ ή $-\mathrm{\infty }$), αλλά ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|=\mathrm{\infty }.$

Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n},$$ που συγκλίνει στο $\ln (2)$, αλλά δεν είναι απολύτως συγκλίνουσα (βλέπε Αρμονική σειρά).

Ο Μπέρναρντ Ρίμαν απέδειξε ότι μια υπό συνθήκη συγκλίνουσα σειρά μπορεί να αναδιαταχθεί ώστε να συγκλίνει σε οποιαδήποτε τιμή, συμπεριλαμβανομένων του $\mathrm{\infty }$ ή του $-\mathrm{\infty }$.

Δείτε επίσης

• Απόλυτη σύγκλιση

Αναφορές

• Walter Rudin, Αρχές Μαθηματικής Ανάλυσης (McGraw-Hill: Νέα Υόρκη, 1964).