Κυκλικό σύνολο

Στη θεωρία των τυχαίων πινάκων, τα κυκλικά σύνολα είναι μέτρα σε χώρους ορθομοναδιαίων πινάκων που εισήγαγε ο Φρίμαν Ντάισον ως τροποποιήσεις των Γκαουσιανών συνόλων πινάκων. Τα τρία κύρια παραδείγματα είναι το κυκλικό ορθογώνιο σύνολο (COE) σε συμμετρικούς ορθομοναδιαίους πίνακες, το κυκλικό ορθομοναδιαίο σύνολο (CUE) σε μοναδιαίους πίνακες και το κυκλικό συμπλεκτικό σύνολο (CSE) σε αυτοδυϊκούς ορθομοναδιαίους τετραγωνικούς πίνακες.

Διανομές πιθανοτήτων

Η κατανομή του ορθομοναδιαίου κυκλικού συνόλου CUE(n) είναι το μέτρο Χάαρ στην μοναδιαία ομάδα U(n). Αν το U είναι ένα τυχαίο στοιχείο του CUE(n), τότε το U^TU είναι ένα τυχαίο στοιχείο του COE(n)- αν το U είναι ένα τυχαίο στοιχείο του CUE(2n), τότε το U^RU είναι ένα τυχαίο στοιχείο του CSE(n), όπου

$U^R=\left(\begin{array}{ccccccc}0& -1& & & & & \\ 1& 0& & & & & \\ & & 0& -1& & & \\ & & 1& 0& & & \\ & & & & \ddots & & \\ & & & & & 0& -1\\ & & & & & 1& 0\end{array}\right)U^T\left(\begin{array}{ccccccc}0& 1& & & & & \\ -1& 0& & & & & \\ & & 0& 1& & & \\ & & -1& 0& & & \\ & & & & \ddots & & \\ & & & & & 0& 1\\ & & & & & -1& 0\end{array}\right).$

Κάθε στοιχείο ενός κυκλικού συνόλου είναι ένας ορθομοναδιαίος πίνακας, οπότε έχει ιδιοτιμές στον μοναδιαίο κύκλο: ${\lambda }_k=e^{i{\theta }_k}$ με $0\le {\theta }_k<2\pi$ για k=1,2,... n, όπου τα ${\theta }_k$ είναι επίσης γνωστά ως ιδιογωνίες ή ιδιοφάσεις. Στο CSE κάθε μία από αυτές τις n ιδιοτιμές εμφανίζεται δύο φορές. Οι κατανομές έχουν πυκνότητες ως προς τις ιδιογωνίες, οι οποίες δίνονται από τη σχέση

$p({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n)=\frac{1}{Z_{n,\beta }}\prod _{1\le k<j\le n}|e^{i{\theta }_k}-e^{i{\theta }_j}{|}^{\beta }$

στο ${ℝ}_{[0,2\pi ]}^n$ (συμμετροποιημένη έκδοση), όπου β=1 για COE, β=2 για CUE και β=4 για CSE. Η σταθερά κανονικοποίησης Z_n,β δίνεται από τη σχέση

$Z_{n,\beta }=(2\pi {)}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(\beta n/2+1)}{{(\mathrm{\Gamma }(\beta /2+1))}^n},$

όπως μπορεί να επαληθευτεί μέσω του ολοκληρωτικού τύπου του Σέλμπεργκ ή του ολοκληρωτικού τύπου του Γουέιλ για συμπαγείς ομάδες Λι.

Γενικεύσεις

Γενικεύσεις του κυκλικού συνόλου περιορίζουν τα στοιχεία του πίνακα U σε πραγματικούς αριθμούς [έτσι ώστε το U να ανήκει στην ορθογώνια ομάδα O(n)] ή σε πραγματικούς τετραγωνικούς αριθμούς [έτσι ώστε το U να ανήκει στη συμπλεκτική ομάδα Sp(2n). Το μέτρο Χάαρ στην ορθογώνια ομάδα παράγει το κυκλικό πραγματικό σύνολο (CRE) και το μέτρο Χάαρ στη συμπλεκτική ομάδα παράγει το κυκλικό τεταρτοταγές σύνολο (CQE).

Οι ιδιοτιμές των ορθογώνιων πινάκων έρχονται σε μιγαδικά συζυγή ζεύγη $e^{i{\theta }_k}$ και $e^{-i{\theta }_k}$, ενδεχομένως συμπληρωμένα από ιδιοτιμές σταθερές στο +1 ή στο -1. Για n=2m ζυγές και det U=1, δεν υπάρχουν σταθερές ιδιοτιμές και οι φάσεις θ_k έχουν κατανομή πιθανότητας

$p({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_m)=C\prod _{1\le k<j\le m}(\cos {\theta }_k-\cos {\theta }_j{)}^2,$

με C μια απροσδιόριστη σταθερά κανονικοποίησης. Για n=2m+1 περιττό υπάρχει μία σταθερή ιδιοτιμή σ=det U ίση με ±1. Οι φάσεις έχουν κατανομή

$p({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_m)=C\prod _{1\le i\le m}(1-\sigma \cos {\theta }_i)\prod _{1\le k<j\le m}(\cos {\theta }_k-\cos {\theta }_j{)}^2.$

Για n=2m+2 ζυγές και det U=-1 υπάρχει ένα ζεύγος ιδιοτιμών σταθερών στο +1 και -1, ενώ οι φάσεις έχουν κατανομή

$p({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_m)=C\prod _{1\le i\le m}(1-{\cos }^2{\theta }_i)\prod _{1\le k<j\le m}(\cos {\theta }_k-\cos {\theta }_j{)}^2.$

Αυτή είναι επίσης η κατανομή των ιδιοτιμών ενός πίνακα στον Sp(2m).

Αυτές οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας αναφέρονται ως κατανομές Γιακόμπι στη θεωρία των τυχαίων πινάκων, επειδή οι συναρτήσεις συσχέτισης μπορούν να εκφραστούν σε όρους πολυωνύμων Γιακόμπι.

Υπολογισμοί

Οι μέσοι όροι των γινομένων των στοιχείων των πινάκων στα κυκλικά σύνολα μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν . Για μεγάλες διαστάσεις του πίνακα αυτοί οι υπολογισμοί γίνονται ανέφικτοι και μια αριθμητική μέθοδος είναι πλεονεκτική. Υπάρχουν αποδοτικοί αλγόριθμοι για τη δημιουργία τυχαίων πινάκων στα κυκλικά σύνολα, παραδείγματος χάριν με την εκτέλεση μιας QR ανάλυσης σε έναν πίνακα Ζινίμπρ.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• Πρότυπο:Cite web
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:CitationΠρότυπο:Dead link
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Quantum Mesoscopic Phenomena and Mesoscopic Devices in Microelectronics
• Stochastic Processes and Random Matrices: Lecture Notes of the Les Houches ...
• Quantum Mechanics with Applications to Nanotechnology and Information Science....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation