Τριεστιακός τανυστής

Στην υπολογιστική όραση, ο Τριεστιακός τανυστής είναι ένας πίνακας αριθμών 3×3×3 (δηλαδή ένας τανυστής) που ενσωματώνει όλες τις προβολικές γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ τριών όψεων. Συνδέει τις συντεταγμένες αντίστοιχων σημείων ή γραμμών σε τρεις όψεις, ανεξάρτητα από τη δομή της σκηνής και εξαρτάται μόνο από τη σχετική κίνηση (δηλ. τη στάση) μεταξύ των τριών όψεων και των εγγενών παραμέτρων βαθμονόμησής τους. Ως εκ τούτου, ο Τριεστιακός τανυστής μπορεί να θεωρηθεί ως η γενίκευση του θεμελιώδους πίνακα σε τρεις όψεις. Ας σημειωθεί ότι παρά το γεγονός ότι ο τανυστής αποτελείται από 27 στοιχεία, μόνο 18 από αυτά είναι στην πραγματικότητα ανεξάρτητα.

Υπάρχει επίσης ένας λεγόμενος βαθμονομημένος Τριεστιακός τανυστής, ο οποίος συνδέει τις συντεταγμένες των σημείων και των γραμμών σε τρεις προβολές δεδομένων των εγγενών παραμέτρων τους και κωδικοποιεί τη σχετική θέση από τις κάμερες μέχρι την καθολική κλίμακα, συνολικά 11 ανεξάρτητα στοιχεία ή βαθμούς ελευθερίας. Οι μειωμένοι βαθμοί ελευθερίας επιτρέπουν λιγότερες αντιστοιχίες για την προσαρμογή του μοντέλου, με κόστος την αυξημένη μη γραμμικότητα.

Τεμάχια συσχέτισης

Ο τανυστής μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μια συλλογή τριών πινάκων τάξης δύο ${𝐓}_1,{𝐓}_2,{𝐓}_3$ γνωστές ως Τεμάχια συσχέτισης. Υποθέτοντας ότι οι πίνακες προβολής των τριών όψεων είναι $𝐏=[𝐈|\mathrm{𝟎}]$, $𝐏\text{'}=[𝐀|{𝐚}_4]$ and ${𝐏}^{″}=[𝐁|{𝐛}_4]$,, τα τεμάχια συσχέτισης του αντίστοιχου τανυστή μπορούν να εκφραστούν σε κλειστή μορφή ως ${𝐓}_i={𝐚}_i{𝐛}_4^t-{𝐚}_4{𝐛}_i^t,i=1\dots 3$ όπου ${𝐚}_i,{𝐛}_i$ είναι αντίστοιχα οι i^th στήλες των πινάκων της κάμερας. Στην πράξη, ωστόσο, ο τανυστής εκτιμάται από τις αντιστοιχίες σημείων και γραμμών στις τρεις όψεις.

Τριγραμμικοί περιορισμοί

Μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες του Τριεστιακού τανυστή είναι ότι δημιουργεί γραμμικές σχέσεις μεταξύ γραμμών και σημείων σε τρεις εικόνες. Πιο συγκεκριμένα, για τριάδες αντίστοιχων σημείων $𝐱\leftrightarrow {𝐱}^{\prime }\leftrightarrow {𝐱}^{″}$ και οποιεσδήποτε αντίστοιχες γραμμές $𝐥\leftrightarrow {𝐥}^{\prime }\leftrightarrow {𝐥}^{″}$ μέσω αυτών, ισχύουν οι ακόλουθοι τριγραμμικοί περιορισμοί:

$({𝐥}^{\prime t}[{𝐓}_1,{𝐓}_2,{𝐓}_3]{𝐥}^{″})[𝐥{]}_{\times }={\mathrm{𝟎}}^t$

${𝐥}^{\prime t}\left(\sum _i{x}_i{𝐓}_i\right){𝐥}^{″}=0$

${𝐥}^{\prime t}\left(\sum _i{x}_i{𝐓}_i\right)[{𝐱}^{″}{]}_{\times }={\mathrm{𝟎}}^t$

$[{𝐱}^{\prime }{]}_{\times }\left(\sum _i{x}_i{𝐓}_i\right){𝐥}^{″}=\mathrm{𝟎}$

$[{𝐱}^{\prime }{]}_{\times }\left(\sum _i{x}_i{𝐓}_i\right)[{𝐱}^{″}{]}_{\times }={\mathrm{𝟎}}_{3\times 3}$

όπου $[\cdot {]}_{\times }$ συμβολίζει τον λοξό-συμμετρικό πίνακα διασταυρούμενου γινομένου.

Μεταφορά

Με δεδομένο τον Τριεστιακό τανυστή τριών προβολών και ένα ζεύγος αντιστοιχισμένων σημείων σε δύο προβολές, είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η θέση του σημείου στην τρίτη προβολή χωρίς περαιτέρω πληροφορίες. Αυτό είναι γνωστό ως μεταφορά σημείου και ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει για τις γραμμές και τις κωνικές. Για γενικές καμπύλες, η μεταφορά μπορεί να πραγματοποιηθεί μέσω ενός τοπικού διαφορικού μοντέλου καμπυλών με ταλαντευόμενους κύκλους (δηλ. καμπυλότητα), οι οποίοι μπορούν στη συνέχεια να μεταφερθούν ως κωνικές. Η μεταφορά μοντέλων τρίτης τάξης που αντανακλούν τη στρέψη του χώρου με τη χρήση βαθμονομημένων τριφασικών τανυστών έχει μελετηθεί, αλλά παραμένει ένα ανοικτό πρόβλημα για μη βαθμονομημένους Τριεστιακούς τανυστές

Εκτίμηση

Μη βαθμονομημένο

Η κλασική περίπτωση είναι 6 αντιστοιχίες σημείων που δίνουν 3 λύσεις.

Η περίπτωση που εκτιμά τον Τριεστιακό τανυστή από 9 αντιστοιχίες γραμμών έχει επιλυθεί μόλις πρόσφατα.

Βαθμονομημένο

Η εκτίμηση του βαθμονομημένου Τριεστιακού τανυστή αναφέρθηκε ως διαβόητα δύσκολη και απαιτεί αντιστοιχίες 4 σημείων.

Πρόσφατα επιλύθηκε η περίπτωση της χρήσης μόνο τριών αντιστοιχιών σημείων, όπου στα σημεία αποδίδονται εφαπτόμενες κατευθύνσεις ή προσπίπτουσες γραμμές- με μόνο δύο από τα σημεία να έχουν προσπίπτουσες γραμμές, αυτό είναι ένα ελάχιστο πρόβλημα βαθμού 312 (άρα μπορούν να υπάρξουν το πολύ 312 λύσεις) και είναι σχετικό με την περίπτωση γενικών καμπυλών (των οποίων τα σημεία έχουν εφαπτόμενες), ή σημείων χαρακτηριστικών με αποδιδόμενες κατευθύνσεις (όπως οι κατευθύνσεις SIFT). Η ίδια τεχνική έλυσε τη μικτή περίπτωση τριών αντιστοιχιών σημείων και μιας αντιστοιχίας γραμμών, η οποία έχει επίσης αποδειχθεί ότι είναι ελάχιστη με βαθμό 216.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite encyclopedia
• Πρότυπο:Cite encyclopedia
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Μιγαδικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Άλγεβρα Μπουλ
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
• Πεπερασμένο σώμα
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach
• Multidimensional Statistical Analysis and Theory of Random Matrices ...
• Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
• Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
• Computer Analysis of Images and Patterns: 16th International Conference ...
• Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics ..
• Geometric Computing with Clifford Algebras: Theoretical Foundations and .....
• Visual Control of Wheeled Mobile Robots: Unifying Vision and Control in ...

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation