Θεώρημα του Όιλερ (τετράπλευρα)

Τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ και τα μέσα $\mathrm{M}$ και $\mathrm{N}$ των διαγωνίων του.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Όιλερ στα τετράπλευρα είναι μία μετρική σχέση σε ένα τετράπλευρο που συνδέει τα τετράγωνα των πλευρών, των διαγωνίων και του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων του.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, ισχύει ότι

$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{\Delta }{\mathrm{A}}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{A}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{\cdot }\mathrm{M}{\mathrm{N}}^{\mathrm{2}}$,

όπου $\mathrm{M},\mathrm{N}$ τα μέσα των διαγωνίων του $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$ αντίστοιχα.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1750.Πρότυπο:Rp

Ειδικές περιπτώσεις

• Σε ένα παραλληλόγραμμο, τα δύο μέσα $\mathrm{M}$ και $\mathrm{N}$ ταυτίζονται, δηλαδή $\mathrm{M}\mathrm{N}\mathrm{=}\mathrm{0}$ και συνεπώς λαμβάνουμε τον νόμο του παραλληλογράμμου,

$2\cdot ({\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2)={\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2+{\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}^2$.

• Σε ένα ορθογώνιο, οι δύο διαγώνιοι είναι ίσες άρα λαμβάνουμε ότι

$2\cdot ({\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2)=2\cdot {\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2$,

που είναι ισοδύναμο με το Πυθαγόρειο θεώρημα

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2+{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2={\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2$.

• Όταν $\mathrm{\Delta }\mathrm{=}\mathrm{\Gamma }$, τότε το $\mathrm{N}$ είναι το μέσο της $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ το θεώρημα Όιλερ δίνει ότι

$\mathrm{M}\mathrm{N}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{A}\mathrm{B}$,

δηλαδή ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλη και ίση με το μισό της τρίτης.

• Όταν $\mathrm{\Delta }\mathrm{=}\mathrm{M}$, τότε επίσης $\mathrm{N}\mathrm{=}\mathrm{M}$ και το θεώρηαμα Όιλερ δίνει

$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{B}{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{\cdot }\mathrm{B}{\mathrm{M}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\frac{1}{2}\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$,

δηλαδή το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και την διάμεσο $\mathrm{B}\mathrm{M}$ .

Γενίκευση

Η παραπάνω απόδειξη με την χρήση διανυσμάτων ισχύει επίσης για κάθε στρεβλό τετράπλευρο, δηλαδή για τετράπλευρα που οι κουρφές του δεν ανήκουν κατά ανάγκη στο ίδιο επίπεδο.

Δείτε επίσης

• Νόμος του παραλληλογράμμου
• Πρώτο θεώρημα διαμέσων