Τετραγωνίστρια

Η τετραγωνίστρια εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα

Στη γεωμετρία, η τετραγωνίστρια ή τετραγωνίζουσα (και quadratrix από quadrator στα λατινικά) είναι μια καμπύλη που έχει συντεταγμένες οι οποίες είναι ένα μέτρο του εμβαδού (ή τετραγωνισμού) μιας άλλης καμπύλης. Οι δύο πιο διάσημες καμπύλες αυτής της κατηγορίας είναι αυτές του Δεινοστράτου και του Ε. Β. Τσιρνχάουζ (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus), οι οποίες σχετίζονται και οι δύο με τον κύκλο.

Τετραγωνίστρια του Δεινοστράτου

Η Τετραγωνίστρια του Δεινοστράτου (που ονομάζεται επίσης Τετραγωνίστρια του Ιππία) ήταν πολύ γνωστή στους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και αναφέρεται από τον Πρόκλο, ο οποίος αποδίδει την εφεύρεση της καμπύλης σε έναν σύγχρονο του Σωκράτη, πιθανότατα τον Ιππία από την Ήλιδα. Ο Δεινόστρατος, ένας Έλληνας γεωμέτρης και μαθητής του Πλάτωνος, ασχολήθηκε με την καμπύλη και έδειξε πώς επιφέρει μια μηχανική λύση του τετραγωνισμού του κύκλου. Ο Πάππος, στις Συλλογές του, πραγματεύεται την ιστορία της και δίνει δύο μεθόδους με τις οποίες μπορεί να παραχθεί.

1. Έστω μια έλικα που σχεδιάζεται σε έναν ευθύγραμμο κυκλικό κύλινδρο- στη συνέχεια, προκύπτει μια επιφάνεια κοχλία με τη χάραξη γραμμών από κάθε σημείο αυτής της σπείρας κάθετα στον άξονά της. Η ορθογώνια προβολή ενός τμήματος αυτής της επιφάνειας σε ένα επίπεδο που περιέχει μία από τις καθέτους και έχει κλίση προς τον άξονα είναι η τετραγωνίστρια.
2. Ένας ευθύγραμμος κύλινδρος που έχει ως βάση του μια αρχιμήδεια σπείρα τέμνεται από έναν ευθύγραμμο κυκλικό κώνο, του οποίου η γενέτειρα γραμμή του κυλίνδρου διέρχεται από το αρχικό σημείο της έλικα για τον άξονά του. Από κάθε σημείο της καμπύλης τομής, χαράσσονται κάθετες στον άξονα. Οποιαδήποτε επίπεδη τομή της επιφάνειας του κοχλία (plectoidal of Pappus) που προκύπτει με αυτόν τον τρόπο είναι η τετραγωνίστρια .

Τετραγωνίστρια του Δεινοστράτου (με κόκκινο)

Μια άλλη κατασκευή έχει ως εξής. Πρότυπο:Mvar είναι ένα τεταρτημόριο στο οποίο η ευθεία Πρότυπο:Mvar και το τόξο Πρότυπο:Mvar διαιρούνται σε ίσο αριθμό ίσων τμημάτων. Σχεδιάζονται ακτίνες από το κέντρο του τεταρτημορίου προς τα σημεία διαίρεσης του τόξου και οι ακτίνες αυτές τέμνονται από τις γραμμές που σχεδιάζονται παράλληλα προς την Πρότυπο:Mvar και διέρχονται από τα αντίστοιχα σημεία της ακτίνας Πρότυπο:Mvar. Ο τόπος αυτών των τομών είναι η τετραγωνίστρια .

Τετραγωνίστρια του Δεινοστράτουs με ένα κεντρικό τμήμα που πλαισιώνεται από άπειρες διακλαδώσεις

Έστω Πρότυπο:Mvar η αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, Πρότυπο:Mvar το σημείο Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Mvar μονάδες από την αρχή κατά μήκος του άξονα Πρότυπο:Mvar, και Πρότυπο:Mvar να είναι το σημείο Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Mvar μονάδες από την αρχή κατά μήκος του άξονα Πρότυπο:Mvar, η ίδια η καμπύλη μπορεί να εκφραστεί από την εξίσωση

$y=x\cot \left(\frac{\pi x}{2a}\right).$

Επειδή η συνεφαπτόμενη συνάρτηση είναι αναλλοίωτη υπό την άρνηση του επιχειρήματός της και έχει έναν απλό πόλο σε κάθε πολλαπλάσιο του Πρότυπο:Pi, η τετραγωνίστρια παρουσιάζει συμμετρία ανάκλασης κατά μήκος του άξονα Πρότυπο:Mvar, και ομοίως έχει έναν πόλο για κάθε τιμή του Πρότυπο:Mvar της μορφής Πρότυπο:Math, για ακέραιες τιμές του Πρότυπο:Mvar, εκτός από το Πρότυπο:Math όπου ο πόλος της συνεφαπτόμενης ακυρώνεται από τον παράγοντα του Πρότυπο:Mvar στον τύπο για την τετραγωνίστρια. Οι πόλοι αυτοί χωρίζουν την καμπύλη σε ένα κεντρικό τμήμα που πλαισιώνεται από άπειρους κλάδους. Το σημείο όπου η καμπύλη τέμνει τον άξονα Πρότυπο:Mvar έχει Πρότυπο:Math- επομένως, αν ήταν δυνατόν να κατασκευαστεί με ακρίβεια η καμπύλη, θα μπορούσε κανείς να κατασκευάσει ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου το μήκος είναι ρητό πολλαπλάσιο του Πρότυπο:Math, οδηγώντας σε λύση του κλασικού προβλήματος του τετραγωνισμού του κύκλου. Εφόσον αυτό είναι αδύνατο με διαβήτη και χάρακα, η τετραγωνίστρια με τη σειρά της δεν μπορεί να κατασκευαστεί με διαβήτη και χάρακα.

Μια ακριβής κατασκευή της τετραγωνίστριας θα επέτρεπε επίσης τη λύση δύο άλλων κλασικών προβλημάτων που είναι γνωστό ότι είναι αδύνατα με πυξίδα και χάρακα: τον διπλασιασμό του κύβου και την τριχοτόμηση μιας γωνίας.

Τετραγωνίστρια του Τσιρνχάουζ (κόκκινη),
Τετραγωνίστρια του Ιππία (διακεκομμένη)

Τετραγωνίστρια του Τσιρνχάουζ

Η τετραγωνίστρια του Τσιρνχάουζ κατασκευάζεται διαιρώντας το τόξο και την ακτίνα ενός τεταρτημορίου στον ίδιο αριθμό ίσων τμημάτων όπως και προηγουμένως. Οι αμοιβαίες τομές των ευθειών που σχεδιάζονται από τα σημεία διαίρεσης του τόξου παράλληλα προς το DA και των ευθειών που σχεδιάζονται παράλληλα προς το AB μέσω των σημείων διαίρεσης του DA, είναι σημεία της τετραγωνίστριας. Η καρτεσιανή εξίσωση είναι $y=a\cos \left(\frac{\pi x}{2a}\right)$. Η καμπύλη είναι περιοδική και τέμνει τον άξονα x στα σημεία $x=(2n-1)a$, $n$ είναι ακέραιος αριθμός- οι μέγιστες τιμές της $y$ είναι $a$. Οι ιδιότητές του είναι παρόμοιες με εκείνες του τετραπλού της τετραγωνίστριας του Δεινοστράτου.

Άλλες τετραγωνίζουσες

Άλλες καμπύλες που έχουν ιστορικά χρησιμοποιηθεί για να τετραγωνίσουν τον κύκλο περιλαμβάνουν την Σπείρα του Αρχιμήδη και το κοχλιοειδές.

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Cite journal
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
• Πρότυπο:Citation

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Σπείρα του Αρχιμήδη
• Συνέχεια συνάρτησης
• Πάππος ο Αλεξανδρεύς
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Πραγματικός αριθμός
• Τετραγωνισμός του κύκλου
• Μηδενοδύναμο στοιχείο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
• Methods for Euclidean Geometry
• Redefining Geometrical Exactness: Descartes’ Transformation of the Early ...
• Essentials of Mathematica: With Applications to Mathematics and Physics
• Exploring Classical Greek Construction Problems with Interactive Geometry ....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• * Πρότυπο:Cite journal
• Trisecting the Angle: The Quadratrix of Hippias
• Paolo Vighi, Igino Aschieri: From Art to Mathematics in the Paintings of Theo van Doesburg. In: Vittorio Capecchi (Hrsg.), Massimo Buscema (Hrsg.), Pierluigi Contucci (Hrsg.), Bruno D’Amore (Hrsg.): Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer, 2010, ISBN 978-90-481-8581-8, S. 601–610, insbesondere S. 303–306
• The Trisection Problem JSTOR Collection