Ίσα τρίγωνα

Στην γεωμετρία, δύο τρίγωνα λέγονται ίσα αν οι πλευρές τους έχουν ίσα μήκη και οι αντίστοιχες γωνίες τους ίσο μέτρο.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Πολλά θεωρήματα στην γεωμετρία αποδεικνύονται εντοπίζοντας ίσα τρίγωνα σε σχήματα. Για να αποδειχθούν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα κριτήρια ισότητας τριγώνων, θεωρήματα που μας δίνουν συνθήκες για πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα. Αυτά συντομεύουν τις αποδείξεις και δεν χρειάζεται να αποδείξουμε κάθε φορά ότι όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες τους είναι ίσες.

Ισχύει ότι όλα τα ζευγάρια ίσων τριγώνων είναι όμοια, καθώς έχουν τις γωνίες τους ίσες, αλλά δεν είναι όλα τα ζευγάρια όμοιων τριγώνων ίσα.

Ορισμός

Τα τρίγωνα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{E}\mathrm{Z}$ είναι ίσα με αντιστοιχία κορυφών $\mathrm{(}\mathrm{A},\mathrm{\Delta }\mathrm{)}$, $\mathrm{(}\mathrm{B},\mathrm{E}\mathrm{)}$ και $\mathrm{(}\mathrm{\Gamma },\mathrm{Z}\mathrm{)}$,Πρότυπο:R αν τα μήκη των πλευρών τους είναι ίσα

$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{=}\mathrm{\Delta }\mathrm{E}$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{=}\mathrm{E}\mathrm{Z}$ και $\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}\mathrm{=}\mathrm{Z}\mathrm{\Delta }$,

και τα μέτρα των γωνιών τους είναι ίσα

$\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{\Delta }}$, $\hat{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{E}}$ και $\hat{\mathrm{\Gamma }}=\hat{\mathrm{Z}}$.

Σημείωση 1: Συνήθως η αντιστοιχία των κορυφών παραλείπεται και όταν λέμε τα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{E}\mathrm{Z}$ είναι ίσα, εννοούμε με την σειρά με την οποία αναγράφονται οι κορυφές.

Σημείωση 2: Όπως αποδεικνύεται και στο κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς παρακάτω, αρκεί μόνο η ισότητα των πλευρών στον ορισμό.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

Τα παρακάτω θεωρήματα χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα και συχνά αποκαλούνται ως τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.Πρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R Τα δύο πρώτα κριτήρια εμφανίζονται ως Προτάσεις 4 και 8 στο 1ο Βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη.Πρότυπο:Rp

Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας (ΓΠΓ)

Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Σημείωση: Οι δύο γωνίες δεν χρειάζεται να είναι και οι δύο προσκείμενες στην πλευρά, καθώς αν π.χ. $\hat{\mathrm{A}}\mathrm{=}\hat{\mathrm{\Delta }}$ και $\hat{\mathrm{B}}\mathrm{=}\hat{\mathrm{E}}$ τότε ισχύει επίσης ότι $\hat{\mathrm{\Gamma }}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{8}{\mathrm{0}}^{\mathrm{\circ }}\mathrm{-}\hat{\mathrm{A}}\mathrm{-}\hat{\mathrm{B}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{8}{\mathrm{0}}^{\mathrm{\circ }}\mathrm{-}\hat{\mathrm{\Delta }}\mathrm{-}\hat{\mathrm{E}}\mathrm{=}\hat{\mathrm{Z}}$. Άρα από το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας, προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

Σχετικά με το κριτήριο πλευράς-πλευράς-γωνίας

Τα τρίγωνα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$ έχουν δύο ίσες πλευρές και μία γωνία κοινή (την $\hat{\mathrm{B}}$), αλλά δεν είναι ίσα.

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση που δεν είναι η περιεχόμενη τους γωνία, τότε τα τρίγωνα δεν είναι κατά ανάγκη ίσα.

Για παράδειγμα, θεωρούμε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με αμβλεία γωνία την $\hat{\mathrm{\Gamma }}$, και το σημείο $\mathrm{\Delta }$ στην προέκταση της $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ ώστε το $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\mathrm{=}\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$. Τότε τα τρίγωνα $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$ έχουν δύο ίσες πλευρές (την $\mathrm{A}\mathrm{B}$ κοινή και $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\mathrm{=}\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$) και μία μη-περιεχόμενη γωνία κοινή (την $\hat{\mathrm{B}}$), αλλά ισχύει ότι $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }<\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$, άρα τα τρίγωνα δεν είναι ίσα.

Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι:Πρότυπο:R Πρότυπο:Μαθηματικό θεώρημα Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Σημείωση 1: Από το θεώρημα έπεται ότι αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η ίση γωνία είναι ορθή ή αμβλεία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

Σημείωση 2: Το θεώρημα αναφέρεται και ως τέταρτο θεώρημα ισότητας τριγώνων.Πρότυπο:Rp

Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Για την ειδική περίπτωση των ορθογωνίων τριγώνων, τα κριτήρια απλοποιούνται στα εξής δύο:Πρότυπο:R

• πλευράς-οξείας γωνίας: αν έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση
• πλευράς-πλευράς: αν έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία

Δείτε επίσης

• Όμοια τρίγωνα
• Ίσα πολύγωνα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.
• Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.
• Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.
• Διαδραστική εφαρμογή για τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση.

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal