Πρόβλημα του Ναπολέοντα

Από testwiki
Αναθεώρηση ως προς 01:26, 22 Ιανουαρίου 2025 από τον imported>Fotis A. (WPCleaner v2.05 - Fixed using Βικιπαίδεια:WikiProject Check Wikipedia (Σύνδεσμος με ίδιο κείμενο συνδέσμου))
(διαφορά) ← Παλαιότερη αναθεώρηση | Τελευταία αναθεώρηση (διαφορά) | Νεότερη αναθεώρηση → (διαφορά)
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Το πρόβλημα του Ναπολέοντα είναι πρόβλημα κατασκευής με κανόνα και διαβήτη. Δίνεται ένας κύκλος και το κέντρο του. Η πρόκληση είναι να διαιρεθεί ο κύκλος σε τέσσερα ίσα τόξα χρησιμοποιώντας μόνο ένα διαβήτη.[1][2] Ήταν γνωστό ότι ο Ναπολέων ήταν ερασιτέχνης μαθηματικός, αλλά δεν είναι γνωστό αν δημιούργησε ή έλυσε το πρόβλημα. Ο φίλος του Ναπολέοντα, ο Ιταλός μαθηματικός Λορέντζο Μασκερόνι[3], εισήγαγε τον περιορισμό στη χρήση του διαβήτη (χωρίς χάρακα) στις γεωμετρικές κατασκευές. Αλλά στην πραγματικότητα, η παραπάνω πρόκληση είναι ευκολότερη από το πραγματικό πρόβλημα του Ναπολέοντα, που συνίσταται στην εύρεση του κέντρου ενός δεδομένου κύκλου μόνο με διαβήτη. Στις επόμενες ενότητες θα περιγραφούν λύσεις σε τρία προβλήματα και αποδείξεις ότι λειτουργούν.

Το βιβλίο του Γκιόργκ Μορ «Euclides Danicus[4] (Ο Δανός Ευκλείδης)» από το 1672 πρόλαβε την ιδέα του Μασκερόνι, αν και το βιβλίο ανακαλύφθηκε εκ νέου μόλις το 1928.

Διαίρεση κύκλου σε τέσσερα ίσα τόξα με δεδομένο το κέντρο του

Από ένα σημείο Χ του κύκλου C, σχεδιάστε ένα τόξο που διέρχεται από το Ο (το κέντρο του C) το οποίο τέμνει το C στα σημεία V και Y. Κάντε το ίδιο με επίκεντρο το Y στο Ο, τέμνοντας το C στα σημεία Χ και Ζ. Σημειώστε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ έχουν το ίδιο μήκος, καθώς όλες οι αποστάσεις είναι ίσες με την ακτίνα του κύκλου C.

Τώρα σχεδιάστε ένα τόξο με κέντρο το V που διέρχεται από το Y και ένα τόξο με κέντρο το Z που διέρχεται από το X- ονομάστε το σημείο όπου αυτά τα δύο τόξα διασταυρώνονται T. Σημειώστε ότι οι αποστάσεις VY και XZ είναι 3 φορές την ακτίνα του κύκλου C.

Τοποθετήστε την ακτίνα του διαβήτη ίση με την απόσταση ΟΤ (2 επί την ακτίνα του κύκλου C) και σχεδιάστε ένα τόξο με κέντρο το Ζ που τέμνει τον κύκλο C στα σημεία U και W. Το UVWZ είναι ένα τετράγωνο και τα τόξα του C UV, VW, WZ και ZU είναι το καθένα ίσο με το ένα τέταρτο της περιφέρειας του C.

Εύρεση του κέντρου ενός δεδομένου κύκλου

Έστω (C) ο κύκλος, του οποίου πρέπει να βρεθεί το κέντρο.[5]

Έστω A ένα σημείο στο (C).

Ένας κύκλος (C1) με κέντρο το A συναντά το (C) στα σημεία B και B'.

Δύο κύκλοι (C2) με κέντρο τα σημεία B και B', με ακτίνα AB, τέμνονται και πάλι στο σημείο C.

Ένας κύκλος (C3) με κέντρο το C και ακτίνα AC συναντά τον (C1) στα σημεία D και D'.

Δύο κύκλοι (C4) με κέντρο τα D και D' και ακτίνα AD συναντώνται στο σημείο A, και στο O, το ζητούμενο κέντρο του (C).

Σημείωση: για να λειτουργήσει αυτό, η ακτίνα του κύκλου (C1) δεν πρέπει να είναι ούτε πολύ μικρή ούτε πολύ μεγάλη. Πιο συγκεκριμένα, η ακτίνα αυτή πρέπει να είναι μεταξύ του μισού και του διπλάσιου της ακτίνας του (C): αν η ακτίνα είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο του (C), ο (C1) δεν θα τέμνει τον (C)- αν η ακτίνα είναι μικρότερη από τη μισή ακτίνα του (C), το σημείο C θα βρίσκεται μεταξύ Α και Ο και ο (C3) δεν θα τέμνει τον (C1).

Απόδειξη

Η ιδέα πίσω από την απόδειξη είναι να κατασκευάσετε, μόνο με διαβήτη, το μήκος b²/a όταν τα μήκη a και b είναι γνωστά, και a/2 ≤ b ≤ 2a.

Στο σχήμα στα δεξιά, σχεδιάζεται ένας κύκλος ακτίνας α με κέντρο το Ο. Σε αυτόν επιλέγεται ένα σημείο Α, από το οποίο μπορούν να προσδιοριστούν τα σημεία Β και Β' έτσι ώστε τα ΑΒ και ΑΒ' να έχουν μήκος b. Το σημείο Α' βρίσκεται απέναντι από το Α, αλλά δεν χρειάζεται να κατασκευαστεί (θα χρειαζόταν μια ευθεία)- ομοίως το σημείο Η είναι η (εικονική) τομή των ΑΑ' και ΒΒ'. Το σημείο C μπορεί να προσδιοριστεί από τα B και B', χρησιμοποιώντας κύκλους ακτίνας b.

Το τρίγωνο ΑΒΑ' έχει ορθή γωνία στο Β και το BH είναι κάθετο στο ΑΑ', οπότε :

AHAB=ABAA′

Ως εκ τούτου,AH=b22a και AC = b²/a.

Στην παραπάνω κατασκευή του κέντρου, μια τέτοια διαμόρφωση εμφανίζεται δύο φορές :

  • τα σημεία A, B και B' βρίσκονται πάνω στον κύκλο (C), ακτίνα aΠρότυπο:Su = r ; τα AB, AB', BC και B'C είναι ίσα με bΠρότυπο:Su = R, οπότε AC=R2r;
  • τα σημεία A, D και D' βρίσκονται πάνω στον κύκλο με κέντρο το C, ακτίνας a2=R2r ; τα DA, D'A, DO και D'O είναι ίσα με bΠρότυπο:Su = R, οπότε AO=R2R2/r=r.

Επομένως, το Ο είναι το κέντρο του κύκλου (C).

Εύρεση του μέσου μιας δεδομένης απόστασης ή ενός ευθύγραμμου τμήματος

Κατασκευή του μέσου μιας απόστασης ή ενός τμήματος γραμμής μόνο με πυξίδα, κινούμενα σχέδια δείτε εδώ.

Έστω |AD| η απόσταση', της οποίας το κέντρο πρέπει να βρεθεί.[6]

Δύο κύκλοι (C1) με κέντρο το A και (C2) με κέντρο το D και ακτίνα |AD| συναντώνται στα σημεία B και B'.

Ένας κύκλος (C3) με κέντρο το B' και ακτίνα |B'B| συναντά τον κύκλο (C2) στο A'.

Ένας κύκλος (C4) με κέντρο το A' και ακτίνα |A'A| συναντά τον κύκλο (C1) στα σημεία E και E'.

Δύο κύκλοι (C5) με κέντρο το E και (C6) με κέντρο το E' και ακτίνα |EA| συναντώνται στα σημεία A και O. Το O είναι το ζητούμενο κέντρο του |AD|.

  • Το σχέδιο μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε ένα Ευθύγραμμο τμήμα Πρότυπο:Overline.
  • Η απόδειξη που περιγράφεται παραπάνω ισχύει και για αυτόν τον σχεδιασμό.
Σημείωση: Το σημείο Α στο σχέδιο είναι ισοδύναμο με το Α στην απόδειξη.
Επομένως, ακτίνα: (C2) ≙ (C) και σημεία: O ≙ H, B ≙ B, D ≙ O και A' ≙ A'.

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Παραπομπές

  1. ↑ Folens MATHS Programme Year 9, 3. Mascheroni constructions, Napoleon's problem, p. 72–73 Projekt Director: Mary Pardoe, 2003 by Folens Limited, Πρότυπο:ISBN Retrieved 2018-06-07
  2. ↑ Napoleon's problem
  3. ↑ Πρότυπο:Cite web
  4. ↑ Πρότυπο:Cite journal
  5. ↑ Πρότυπο:Citation
  6. ↑ Πρότυπο:Citation

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Πρόβλημα_του_Ναπολέοντα&oldid=2975»