Σταθερά του Λεζάντρ

Η σταθερά του Λεζάντρ είναι μαθηματική σταθερά που εμφανίζεται σε έναν τύπο που κατασκευάστηκε από τον Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ για να προσεγγίσει τη συμπεριφορά καταμέτρησης πρώτων αριθμών $π (x)$ . Η τιμή που αντιστοιχεί ακριβώς στην ασυμπτωτική της συμπεριφορά είναι πλέον γνωστό ότι είναι 1.

Η εξέταση των διαθέσιμων αριθμητικών δεδομένων για γνωστές τιμές της $π (x)$ οδήγησε τον Λεζάντρ σε έναν προσεγγιστικό τύπο.

Ο Λεζάντρ πρότεινε το 1808 τον τύπο

$y = \frac{x}{\log (x) - 1.08366},$ (Πρότυπο:OEIS2C), ως μια προσέγγιση του $y = π (x)$ με "πολύ ικανοποιητική ακρίβεια".^[1]^[2]

Σήμερα, η πραγματική σταθερά $B$ ορίζεται ως εξής

$π (x) \sim \frac{x}{\log (x) - B},$

η οποία επιλύεται θέτοντας

$B = \lim_{n \to \infty} (\log (n) - \frac{n}{π (n)}),$

υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει αυτό το όριο.

Όχι μόνο είναι πλέον γνωστό ότι το όριο υπάρχει, αλλά και ότι η τιμή του είναι ίση με 1, κάπως μικρότερη από το 1,08366 του Λεζάντρ. Ανεξάρτητα από την ακριβή τιμή του, η ύπαρξη του ορίου $B$ υποδηλώνει το θεώρημα των πρώτων αριθμών.

Ο Παφνούτι Τσεμπίσοφ απέδειξε το 1849^[3] ότι αν το όριο B υπάρχει, πρέπει να είναι ίσο με 1. Μια ευκολότερη απόδειξη δόθηκε από τον Πιντζ το 1980^[4].

Είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος των πρώτων αριθμών, υπό την ακριβή μορφή με ρητή εκτίμηση του όρου σφάλματος

$π (x) = Li (x) + O (x e^{- a \sqrt{\log x}}) as x \to \infty$

(για κάποια θετική σταθερά a, όπου O(...) είναι ο συμβολισμός big O^[5]), όπως αποδείχθηκε το 1899 από τον Σαρλ ντε Λα Βαλέ Πουσέν,^[6]^[7] ότι ο Β είναι πράγματι ίσος με 1. (Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είχε αποδειχθεί το 1896, ανεξάρτητα από τον Ζακ Ανταμάρ ^[8] και τον Λα Βαλέ Πουσέν,^[9]Πρότυπο:Rp: αλλά χωρίς καμία εκτίμηση του σχετικού όρου σφάλματος).

Η αξιολόγηση σε έναν τόσο απλό αριθμό έχει καταστήσει τον όρο σταθερά του Λεζάντρ ως επί το πλείστον μόνο ιστορικής αξίας, με τον όρο να χρησιμοποιείται συχνά (τεχνικά λανθασμένα) για να αναφέρεται στην πρώτη εικασία του Λεζάντρ 1,08366... αντί αυτού.

Αριθμητικές τιμές

Χρησιμοποιώντας την Συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών $π (x)$ μπορούμε να υπολογίσουμε $B (x) = \log x - \frac{x}{π (x)}$ για τιμές του $x$ πολύ πέρα από αυτές που ήταν διαθέσιμες στον Λεζάντρ:

Η σταθερά του Λεζάντρ προσεγγίζει ασυμπτωτικά το 1 για μεγάλες τιμές του $x$
x	B(x)	x	B(x)	x	B(x)	x	B(x)
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round
Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round	Πρότυπο:Val	Πρότυπο:Round

Οι τιμές μέχρι $π (1 0^{29})$ (οι δύο πρώτες στήλες) είναι ακριβώς γνωστές- οι τιμές στην τρίτη και τέταρτη στήλη εκτιμώνται με τη χρήση της συνάρτησης καταμέτρησης πρώτων αριθμών Ρίμαν^[10] .

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite book Originally published in Πρότυπο:Lang vol. 20 (1896). Second scanned version, from a different library.
↑ Πρότυπο:Cite web

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Βιβλιογραφία

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

[1] Πρότυπο:Cite book

[P.Ribenboim-2] Πρότυπο:Cite book

[3] Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, page 17. Third (corrected) edition, two volumes in one, 1974, Chelsea 1974

[4] Πρότυπο:Cite journal

[5] Πρότυπο:Cite web

[6] La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899

[7] Πρότυπο:Cite web

[8] Πρότυπο:Cite journal

[9] Πρότυπο:Cite book Originally published in Πρότυπο:Lang vol. 20 (1896). Second scanned version, from a different library.

[10] Πρότυπο:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Σταθερά του Λεζάντρ

Περιεχόμενα

Αριθμητικές τιμές

Δείτε επίσης

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Βιβλιογραφία

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Σταθερά του Λεζάντρ

Αριθμητικές τιμές

Δείτε επίσης

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Βιβλιογραφία

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση