Εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ

Από testwiki
Αναθεώρηση ως προς 19:33, 30 Δεκεμβρίου 2024 από τον imported>Projethomere (Νέα σελίδα: Στη θεωρία των αριθμών, η '''εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ''' είναι μια εικασία σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών στις αριθμητικές ακολουθίες. Έχει πολλές εφαρμογές στη θεωρία κόσκινων. Πήρε το όνομά της από τους Πίτερ Ντ....)
(διαφορά) ← Παλαιότερη αναθεώρηση | Τελευταία αναθεώρηση (διαφορά) | Νεότερη αναθεώρηση → (διαφορά)
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ είναι μια εικασία σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών στις αριθμητικές ακολουθίες. Έχει πολλές εφαρμογές στη θεωρία κόσκινων. Πήρε το όνομά της από τους Πίτερ Ντ. Τ. Α. Έλιοτ (Peter D. T. A. Elliott) και Χάινι Χάλμπερσταμ (Heini Halberstam), οι οποίοι διατύπωσαν μια συγκεκριμένη εκδοχή της εικασίας το 1968[1].

Μία εκδοχή της εικασίας έχει ως εξής και η διατύπωσή της απαιτεί ορισμένους συμβολισμούς. Έστω π(x), η συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών, που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι με x. Αν q είναι ένας θετικός ακέραιος και a είναι σχετικά πρώτος του q, τότε π(x;q,a) συμβολίζει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του x που είναι ίσοι με a modulo q. Το θεώρημα του Ντίριχλετ για τους πρώτους αριθμούς στην αριθμητική πρόοδο μας λέει τότε ότι

π(x;q,a)∼π(x)φ(q)  (x→∞)

όπου φ είναι η συνάρτηση του Όιλερ. Εάν στη συνέχεια ορίσουμε τη συνάρτηση σφάλματος

E(x;q)=maxgcd(a,q)=1|π(x;q,a)−π(x)φ(q)|

όπου το μέγιστο λαμβάνεται σε όλα τα a που είναι σχετικά πρώτο με το q, τότε η εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ είναι ο ισχυρισμός ότι για κάθε θ<1 και A>0 υπάρχει μια σταθερά C>0 τέτοια ώστε

∑1≤q≤xθE(x;q)≤CxlogAx

για όλα τα x>2.

Αυτή η εικασία αποδείχθηκε για όλα τα θ<1/2 από τους Ενρίκο Μπομπιέρι[2] και Α. Ι. Βινόγκραντοφ[3] (το θεώρημα Μπομπιέρι-Βινόγκραντοφ, μερικές φορές γνωστό απλώς ως «θεώρημα Μπομπιέρι»)- το αποτέλεσμα αυτό είναι ήδη αρκετά χρήσιμο, καθώς αποτελεί μια μέση μορφή της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν. Είναι γνωστό ότι η εικασία αποτυγχάνει στο τελικό σημείο θ=1.[4] Το 1986, οι Μπομπιέρι, Φρίντλαντερ και Ιβάνιεκ γενίκευσαν την εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ, χρησιμοποιώντας τη συνέλιξη Ντίριχλετ αριθμητικών συναρτήσεων που σχετίζονται με τη συνάρτηση φον Μάγκολντ.[5]

Η εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ έχει διάφορες προεκτάσεις. Μία από αυτές είναι το αποτέλεσμα που ανακοίνωσαν οι Νταν Γκόλντστον, Γιάννος Πιντζ και Τζεμ Γιλντιρίμ,[6][7] το οποίο δείχνει ( αν υποθέσουμε αυτή την εικασία) ότι υπάρχουν άπειρα πολλά ζεύγη πρώτων αριθμών που διαφέρουν το πολύ κατά 16. Τον Νοέμβριο του 2013, ο Τζέιμς Μέιναρντ έδειξε ότι με την προϋπόθεση της εικασίας Έλιοτ-Χάλμπερσταμ, μπορεί κανείς αποδείξει την ύπαρξη απείρως πολλών ζευγών διαδοχικών πρώτων αριθμών που διαφέρουν το πολύ κατά 12[8]. Τον Αύγουστο του 2014, η ομάδα Polymath έδειξε ότι με την επιφύλαξη της γενικευμένης εικασίας Έλιοτ-Χάλμπερσταμ, μπορούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη άπειρου αριθμού ζευγών διαδοχικών πρώτων αριθμών που διαφέρουν το πολύ κατά 6[9]. Χωρίς να υποθέσουμε οποιαδήποτε μορφή της εικασίας, το μικρότερο όριο που αποδείχθηκε είναι 246.

Αρχική εικασία

Η αρχική εικασία των Έλιοτ-Χάλμπερσταμ δεν αναφέρεται σαφώς στην έρευνά τους,[1] αλλά προκύπτει από την (1) σελίδα 59 και το σχόλιο πάνω από το Θεώρημα στη σελίδα 62. Λέει ότι

∑q≤xφ(q)max(h,q)=1(π(x,q,h)−li⁡xφ(q))2≪x2logAx

εφόσον X<x(log⁡x)−A−1, όπου li⁡x δηλώνει το λογαριθμικό ολοκλήρωμα και φ τη συνάρτηση Ὀιλερ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

  1. ↑ 1,0 1,1 Πρότυπο:Cite encyclopedia
  2. ↑ Πρότυπο:Cite journal
  3. ↑ Πρότυπο:Cite journal Corrigendum. ibid. 30 (1966), pages 719-720. (Russian)
  4. ↑ Πρότυπο:Cite journal
  5. ↑ Πρότυπο:Cite journal
  6. ↑ Goldston, D. A.; Pintz, J.; Yıldırım, C. Y. (2009). "Primes in Tuples I". Annals of Mathematics. Second Series. 170 (2): 819–862. arXiv:math.NT/0508185. doi:10.4007/annals.2009.170.819. Goldston, D. A.; Motohashi, Y.; Pintz, J.; Yıldırım, C. Y. (April 2006). "Small Gaps between Primes Exist". Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences. 82 (4): 61–65. arXiv:math.NT/0505300. doi:10.3792/pjaa.82.61. Goldston, D. A.; Graham, S. W.; Pintz, J.; Yıldırım, C. Y. (2009). "Small gaps between primes or almost primes". Transactions of the American Mathematical Society. 361 (10): 5285–5330. arXiv:math.NT/0506067. doi:10.1090/S0002-9947-09-04788-6.
  7. ↑ Kannan Soundararajan (2007). "Small gaps between prime numbers: The work of Goldston–Pintz–Yıldırım". Bulletin of the American Mathematical Society. 44 (1): 1–18. arXiv:math/0605696. doi:10.1090/S0273-0979-06-01142-6. MR 2265008. S2CID 119611838.
  8. ↑ Maynard, James (2015). "Small gaps between primes".Annals of Mathematics. 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7. MR 3272929. S2CID 55175056.
  9. ↑ D.H.J. Polymath (2014). "Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes". Research in the Mathematical Sciences. 1 (12). arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. MR 3373710. S2CID 119699189.
Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Εικασία_Έλιοτ-Χάλμπερσταμ&oldid=3023»