Εικασία του Αρτέν για αρχικές ρίζες

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Αρτέν για τις αρχικές ρίζες δηλώνει ότι ένας δεδομένος ακέραιος α που δεν είναι ούτε τετραγωνικός αριθμός ούτε -1 είναι μια αρχική ρίζα σε άπειρους πρώτους αριθμούς p. Η εικασία αποδίδει επίσης μια ασυμπτωτική πυκνότητα σε αυτούς τους πρώτους αριθμούς. Αυτή η εικαστική πυκνότητα ισούται με τη σταθερά του Αρτέν ή ένα ρητό πολλαπλάσιο αυτής.

Η εικασία διατυπώθηκε από τον Εμίλ Αρτέν στον Χέλμουτ Χάσε στις 27 Σεπτεμβρίου 1927, σύμφωνα με το σημειωματάριο του τελευταίου. Η εικασία παραμένει άλυτη μέχρι το 2024. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει καμία μοναδική τιμή του a για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν.

Σχηματισμός

Έστω α ένας ακέραιος αριθμός που δεν είναι τετραγωνικός και δεν είναι −1. Ας γράψουμε a = a₀b² με a₀ χωρίς τετράγωνο. Συμβολίζουμε με S(a)) το σύνολο των πρώτων αριθμών p που είναι τέτοιοι ώστε ο a να είναι μια αρχική ρίζα modulo p. Τότε η εικασία δηλώνει

1. Η S(a) έχει θετική ασυμπτωτική πυκνότητα μέσα στο σύνολο των πρώτων αριθμών. Ειδικότερα, το S(a) είναι άπειρο.
2. Υπό τις προϋποθέσεις ότι το a δεν είναι τέλεια δύναμη και ότι το a₀ δεν είναι συμβατό με το 1 modulo 4 Πρότυπο:OEIS, η πυκνότητα αυτή είναι ανεξάρτητη από το a και ισούται με τη σταθερά του Αρτέν, η οποία μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

1. $C_{\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\prod _{p\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}}(1-\frac{1}{p(p-1)})=0.3739558136\dots$ Πρότυπο:OEIS.

Παρόμοιοι εικαστικοί τύποι γινομένων υπάρχουν για την πυκνότητα όταν το a δεν ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εικαστική πυκνότητα είναι πάντα ένα ρητό πολλαπλάσιο του C_Artin.

Παράδειγμα

Παραδείγματος χάριν, ας πάρουμε a = 2. Η εικασία ισχυρίζεται ότι το σύνολο των πρώτων p για το οποίο το 2 είναι μία αρχική ρίζα έχει την παραπάνω πυκνότητα C_Artin. Το σύνολο αυτών των πρώτων αριθμών είναι Πρότυπο:OEIS)

S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

Διαθέτει 38 στοιχεία μικρότερα από 500 και υπάρχουν 95 πρώτοι αριθμοί μικρότεροι από 500. Η αναλογία (η οποία υποθετικά τείνει προς C_Artin)) είναι 38/95 = 2/5 = 0.4.

Μερικά αποτελέσματα

Το 1967, ο Κρίστοφερ Χούλεϊ δημοσίευσε μια υπό όρους απόδειξη της εικασίας, υποθέτοντας ορισμένες περιπτώσεις της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν.

Χωρίς τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν, δεν υπάρχει μία μόνο τιμή του a για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν. Ο ΝΤ. Ρ. Χιθ-Μπράουν απέδειξε το 1986 (Πόρισμα 1) ότι τουλάχιστον μία από τις τιμές 2, 3 ή 5 είναι αρχική ρίζα modulo απείρως πολλούς πρώτους p. Απέδειξε επίσης (Πόρισμα 2) ότι υπάρχουν το πολύ δύο πρώτοι για τους οποίους η εικασία του Αρτέν αποτυγχάνει.

Μερικές παραλλαγές του προβλήματος του Αρτέν

Ελλειπτική καμπύλη

Μια ελλειπτική καμπύλη $E$ που δίνεται από τη σχέση $y^2=x^3+ax+b$, οι Λανγκ και Τρότερ έδωσαν μια εικασία για ρητά σημεία στην $E(\mathbb{Q})$ ανάλογη με την εικασία της αρχικής ρίζας του Αρτέν.

Συγκεκριμένα, είπαν ότι υπάρχει μια σταθερά $C_E$ για ένα δεδομένο σημείο άπειρης τάξης $P$ στο σύνολο των ρητών σημείων $E(\mathbb{Q})$ τέτοια ώστε ο αριθμός $N(P)$ των πρώτων αριθμών ($p\le x$) για τους οποίους η αναγωγή του σημείου $P(\mathrm{mod}p)$ που συμβολίζεται με $\overline{P}$ παράγει το σύνολο των σημείων του ${𝔽}_{𝕡}$ στο $\overline{E}({𝔽}_{𝕡})$, δίνεται από τη σχέση $N(P)\sim C_E\left(\frac{x}{\log x}\right)$., Εδώ αποκλείουμε τους πρώτους αριθμούς που διαιρούν τους παρονομαστές των συντεταγμένων του $P$.

Οι Γκούπτα και Μέρτι απέδειξαν την εικασία των Λανγκ και Τρότερ για το $E/\mathbb{Q}$ με μιγαδικό πολλαπλασιασμό υπό τη Γενικευμένη Υπόθεση Ρίμαν, για πρώτους που χωρίζονται στο σχετικό φανταστικό τετραγωνικό σώμα.

Ακριβής διάταξη

Ο Κρισναμούρτι πρότεινε το ερώτημα πόσο συχνά η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος $1/p$ ενός πρώτου αριθμού $p$ είναι άρτια.

Ο ισχυρισμός είναι ότι η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος ενός πρώτου στη βάση $g$ είναι άρτια αν και μόνο αν $g^{\left(\frac{p-1}{2^j}\right)}\equiv ̸1modp$ όπου $j\ge 1$ and $j$ είναι μοναδικό και p είναι τέτοιο ώστε $p\equiv 1+2^{j}mod{2}^j$.

Το αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Χάσε το 1966.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Πρώτος αριθμός Μερσέν
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Φυσικός αριθμός
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Αριθμητική πρόοδος
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Πηγές

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Πρότυπο:Cite web
• Πρότυπο:MathWorld
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation