Εικασία του Ανρίκα

Πρότυπο:Multiple image

Η εικασία του Αντρίκα^[1]^[2] (που πήρε το όνομά της από τον Ρουμάνο μαθηματικό Ντορίν Αντρίκα) είναι μια εικασία σχετικά με τα κενά μεταξύ των πρώτων αριθμών.^[3]^[4]

Η εικασία δηλώνει ότι η ανισότητα

\sqrt{p_{n + 1}} - \sqrt{p_{n}} < 1

ισχύει για όλα τα $n$ , όπου $p_{n}$ είναι ο n πρώτος αριθμός. Αν $g_{n} = p_{n + 1} - p_{n}$ συμβολίζει το n th κενά μεταξύ πρώτων, τότε η εικασία του Αντρίκα μπορεί επίσης να επαναδιατυπωθεί ως εξής

g_{n} < 2 \sqrt{p_{n}} + 1 .

Εμπειρικά στοιχεία

Ο Ιμράν Γκόρι χρησιμοποίησε δεδομένα σχετικά με τα μεγαλύτερα κενά πρώτων αριθμών για να επιβεβαιώσει την εικασία για $n$ μέχρι 1.3002 × 10¹⁶.^[5] Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μέγιστων κενών και την παραπάνω ανισότητα κενών, η τιμή επιβεβαίωσης μπορεί να επεκταθεί εξαντλητικά μέχρι 4 × 10¹⁸. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μέγιστων κενών και την παραπάνω ανισότητα κενών, η τιμή επιβεβαίωσης μπορεί να επεκταθεί εξαντλητικά μέχρι 4 × 10¹⁸.

Η διακριτή συνάρτηση $A_{n} = \sqrt{p_{n + 1}} - \sqrt{p_{n}}$ απεικονίζεται στα διπλανά σχήματα. Τα υψηλά σημεία για το $A_{n}$ εμφανίζονται για n = 1, 2, και 4, με A₄ ≈ 0.670873..., χωρίς μεγαλύτερη τιμή μεταξύ των πρώτων 105 πρώτων αριθμών. Δεδομένου ότι η συνάρτηση Αντρίκα μειώνεται ασυμπτωτικά καθώς αυξάνεται το n, απαιτείται ένα κενό πρώτων αριθμών ολοένα και μεγαλύτερου μεγέθους για να γίνει η διαφορά μεγάλη καθώς το n γίνεται μεγάλο. Επομένως, φαίνεται πολύ πιθανό η εικασία να είναι αληθής, αν και αυτό δεν έχει ακόμη αποδειχθεί.

Γενικεύσεις

Ως γενίκευση της εικασίας του Αντρίκα, θεωρήθηκε η ακόλουθη εξίσωση:

p_{n + 1}^{x} - p_{n}^{x} = 1,

όπου $p_{n}$ είναι ο nth πρώτος και x μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός.

Η μεγαλύτερη δυνατή λύση για το x φαίνεται εύκολα ότι εμφανίζεται για n=1, όταν x_max = 1. Η μικρότερη λύση για το x εικάζεται ότι είναι x_min ≈ 0.567148... (Πρότυπο:OEIS), η οποία εμφανίζεται για n = 30.

Η εικασία αυτή έχει επίσης διατυπωθεί ως ανισότητα, η γενικευμένη εικασία Ανδρίκα:

p_{n + 1}^{x} - p_{n}^{x} < 1

for

x < x_{\min} .

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

[1] Πρότυπο:Cite book

[2] Πρότυπο:Cite book

[3] Πρότυπο:Cite journal

[4] Πρότυπο:Cite book

[Wells_2005_prime_numbers-5] Πρότυπο:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Εικασία του Ανρίκα

Περιεχόμενα

Εμπειρικά στοιχεία

Γενικεύσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Εικασία του Ανρίκα

Εμπειρικά στοιχεία

Γενικεύσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση