Επίλυση εξισώσεων

Στα μαθηματικά, ο όρος επίλυση εξισώσεων^[1] σημαίνει την εύρεση των λύσεων μιας εξίσωσης, οι οποίες είναι οι τιμές (αριθμοί, συναρτήσεις, σύνολα κ.λπ.) που πληρούν τη συνθήκη που δηλώνεται από την εξίσωση. Τυπικά, αυτή αποτελείται από δύο εκφράσεις που συνδέονται με ένα σύμβολο ισότητας. Κατά την αναζήτηση μιας λύσης, μία ή περισσότερες μεταβλητές ορίζονται ως άγνωστοι. Η λύση είναι μια ανάθεση τιμών στις άγνωστες μεταβλητές, που καθιστά την ισότητα της εξίσωσης αληθή. Με άλλα λόγια, η λύση είναι μια τιμή ή μια συλλογή τιμών (μία για κάθε άγνωστο) τέτοια ώστε, όταν αντικατασταθούν οι άγνωστοι, η εξίσωση να γίνει ισότητα. Η λύση μιας εξίσωσης ονομάζεται συχνά ρίζα της εξίσωσης, ιδίως αλλά όχι μόνο για πολυωνυμικές εξισώσεις. Το σύνολο όλων των λύσεων μιας εξίσωσης είναι το σύνολο των λύσεών της.

Μια εξίσωση μπορεί να επιλυθεί είτε αριθμητικά είτε συμβολικά. Η αριθμητική επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει ότι μόνο αριθμοί γίνονται δεκτοί ως λύσεις. Η συμβολική επίλυση μιας εξίσωσης σημαίνει ότι μπορούν να χρησιμοποιηθούν εκφράσεις για την αναπαράσταση των λύσεων.

Επί παραδείγματι, η εξίσωση Πρότυπο:Math επιλύεται για τον άγνωστο Πρότυπο:Mvar^[2] με την έκφραση Πρότυπο:Math, διότι αντικαθιστώντας Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math στην εξίσωση προκύπτει Πρότυπο:Math, μια αληθής δήλωση. Είναι επίσης δυνατό να θεωρήσουμε τη μεταβλητή Πρότυπο:Math ως τον άγνωστο, και τότε η εξίσωση λύνεται με Πρότυπο:Math. Ή Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math μπορούν και οι δύο να θεωρηθούν ως άγνωστοι, και τότε υπάρχουν πολλές λύσεις στην εξίσωση- μια συμβολική λύση είναι Πρότυπο:Math, όπου η μεταβλητή Πρότυπο:Mvar μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Η υλοποίηση μιας συμβολικής λύσης με συγκεκριμένους αριθμούς δίνει μια αριθμητική λύση, για παράδειγμα, Πρότυπο:Math δίνει Πρότυπο:Math (δηλαδή Πρότυπο:Math), και Πρότυπο:Math δίνει Πρότυπο:Math.

Η διάκριση μεταξύ γνωστών μεταβλητών και άγνωστων μεταβλητών γίνεται γενικά στη διατύπωση του προβλήματος, με φράσεις όπως «μια εξίσωση “στο” Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar», ή «λύστε “για” Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math», οι οποίες υποδεικνύουν τους αγνώστους, εδώ Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Ωστόσο, είναι σύνηθες να διατηρούμε τα Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar, ... για να δηλώσουμε τους αγνώστους και να χρησιμοποιούμε τα Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar, ... για να δηλώσουμε τις γνωστές μεταβλητές, οι οποίες συχνά ονομάζονται παράμετροι. Αυτό συμβαίνει συνήθως όταν εξετάζουμε πολυωνυμικές εξισώσεις^[3], όπως οι τετραγωνικές εξισώσεις. Ωστόσο, για ορισμένα προβλήματα, όλες οι μεταβλητές μπορούν να αναλάβουν οποιονδήποτε ρόλο.

Περιλήψεις

Μια γενική μορφή μιας εξίσωσης είναι:

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = c,

όπου Πρότυπο:Mvar είναι μια συνάρτηση, Πρότυπο:Math είναι οι άγνωστοι και Πρότυπο:Math είναι μια σταθερά. Οι λύσεις της είναι τα στοιχεία της αντίστροφης εικόνας (ίνα)

f^{- 1} (c) = {(a_{1}, \dots, a_{n}) \in D ∣ f (a_{1}, \dots, a_{n}) = c},

όπου Πρότυπο:Math είναι το πεδίο της συνάρτησης Πρότυπο:Mvar. Το σύνολο των λύσεων μπορεί να είναι το κενό σύνολο (δεν υπάρχουν λύσεις), ένα μονοσύνολο (υπάρχει ακριβώς μία λύση), πεπερασμένο ή άπειρο (υπάρχουν άπειρες λύσεις).

Παραδείγματος χάριν, μια εξίσωση όπως

3 x + 2 y = 21 z,

με αγνώστους Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, μπορεί να τεθεί στην παραπάνω μορφή αφαιρώντας Πρότυπο:Math και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης, ώστε να προκύψει

3 x + 2 y - 21 z = 0

Σε αυτή τη συγκεκριμένη περίπτωση δεν υπάρχει μόνο μία λύση, αλλά ένα άπειρο σύνολο λύσεων, το οποίο μπορεί να γραφτεί με τη χρήση του συμβολισμού του κατασκευαστή συνόλων ως εξής

{(x, y, z) ∣ 3 x + 2 y - 21 z = 0} .

Μια συγκεκριμένη λύση είναι Πρότυπο:Math. Δύο άλλες λύσεις είναι Πρότυπο:Math, και Πρότυπο:Math. Υπάρχει ένα μοναδικό επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο που διέρχεται από τα τρία σημεία με αυτές τις συντεταγμένες, και το επίπεδο αυτό είναι το σύνολο όλων των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες είναι λύσεις της εξίσωσης.

Σύνολα λύσεων

Το σύνολο λύσεων ενός δεδομένου συνόλου εξισώσεων ή ανισοτήτων είναι το σύνολο όλων των λύσεών του, όπου λύση είναι μια πλειάδα τιμών, μία για κάθε άγνωστο, που ικανοποιεί όλες τις εξισώσεις ή ανισότητες. Εάν το σύνολο λύσεων είναι κενό, τότε δεν υπάρχουν τιμές των αγνώστων που να ικανοποιούν ταυτόχρονα όλες τις εξισώσεις και ανισότητες.

Για ένα απλό παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την εξίσωση

x^{2} = 2 .

Η εξίσωση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως μια διοφαντική εξίσωση, δηλαδή μια εξίσωση για την οποία αναζητούνται μόνο ακέραιες λύσεις. Στην περίπτωση αυτή, το σύνολο λύσεων είναι το κενό σύνολο, αφού το 2 δεν είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού. Ωστόσο, αν αναζητήσει κανείς πραγματικές λύσεις, υπάρχουν δύο λύσεις, √2 και –√2; - με άλλα λόγια, το σύνολο των λύσεων είναι Πρότυπο:Math.

Όταν σε μια εξίσωση περιέχονται πολλοί άγνωστοι και όταν έχουμε πολλές εξισώσεις με περισσότερους αγνώστους από ό,τι εξισώσεις, το σύνολο των λύσεων είναι συχνά άπειρο. Στην περίπτωση αυτή, οι λύσεις δεν μπορούν να απαριθμηθούν. Για την αναπαράστασή τους, είναι συχνά χρήσιμη μια παραμετροποίηση, η οποία συνίσταται στην έκφραση των λύσεων ως προς ορισμένους από τους αγνώστους ή τις βοηθητικές μεταβλητές. Αυτό είναι πάντα δυνατό όταν όλες οι εξισώσεις είναι γραμμικές.

Τέτοια άπειρα σύνολα λύσεων μπορούν φυσικά να ερμηνευθούν ως γεωμετρικά σχήματα, όπως γραμμές, καμπύλες (βλέπε εικόνα), επίπεδα και γενικότερα αλγεβρικές ποικιλίες ή πολλαπλές. Ειδικότερα, η αλγεβρική γεωμετρία μπορεί να θεωρηθεί ως η μελέτη των συνόλων λύσεων των αλγεβρικών εξισώσεων.

Μέθοδοι επίλυσης

Οι μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων εξαρτώνται γενικά από τον τύπο της εξίσωσης, τόσο από το είδος των εκφράσεων στην εξίσωση όσο και από το είδος των τιμών που μπορούν να λάβουν οι άγνωστοι. Η ποικιλία στους τύπους των εξισώσεων είναι μεγάλη, το ίδιο και οι αντίστοιχες μέθοδοι. Παρακάτω αναφέρονται μόνο μερικοί συγκεκριμένοι τύποι.

Γενικά, δεδομένης μιας κατηγορίας εξισώσεων, μπορεί να μην υπάρχει γνωστή συστηματική μέθοδος (αλγόριθμος) που να εγγυάται ότι θα λειτουργήσει. Αυτό μπορεί να οφείλεται στην έλλειψη μαθηματικών γνώσεων- ορισμένα προβλήματα λύθηκαν μόνο μετά από προσπάθειες αιώνων. Αλλά αυτό αντικατοπτρίζει επίσης ότι, γενικά, δεν μπορεί να υπάρχει τέτοια μέθοδος: ορισμένα προβλήματα είναι γνωστό ότι δεν επιλύονται με αλγόριθμο, όπως το δέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ, το οποίο αποδείχθηκε άλυτο το 1970.

Για αρκετές κατηγορίες εξισώσεων έχουν βρεθεί αλγόριθμοι για την επίλυσή τους, μερικοί από τους οποίους έχουν υλοποιηθεί και ενσωματωθεί σε συστήματα άλγεβρας υπολογιστών, αλλά συχνά δεν απαιτούν πιο εξελιγμένη τεχνολογία από μολύβι και χαρτί. Σε ορισμένες άλλες περιπτώσεις, είναι γνωστές ευρετικές μέθοδοι οι οποίες είναι συχνά επιτυχείς αλλά δεν είναι εγγυημένο ότι θα οδηγήσουν στην επιτυχία.

Δοκιμή και σφάλμα, εμπνευσμένη εικασία

Εάν το σύνολο λύσεων μιας εξίσωσης περιορίζεται σε ένα πεπερασμένο σύνολο (όπως συμβαίνει με εξισώσεις στην μοδιακή αριθμητική, για παράδειγμα), ή μπορεί να περιοριστεί σε έναν πεπερασμένο αριθμό δυνατοτήτων (όπως συμβαίνει με ορισμένες διοφαντικές εξισώσεις), το σύνολο λύσεων μπορεί να βρεθεί δοκιμάζοντας κάθε μία από τις πιθανές τιμές (υποψήφιες λύσεις). Ενδέχεται, ωστόσο, ο αριθμός των δυνατοτήτων που πρέπει να εξεταστούν, αν και πεπερασμένος, να είναι τόσο μεγάλος ώστε η εξαντλητική αναζήτηση να μην είναι πρακτικά εφικτή- αυτό αποτελεί, στην πραγματικότητα, απαίτηση για ισχυρές μεθόδους κρυπτογράφησης.

Όπως συμβαίνει με όλα τα είδη επίλυσης προβλημάτων, η δοκιμή και το λάθος μπορεί μερικές φορές να δώσουν μια λύση, ιδίως όταν η μορφή της εξίσωσης ή η ομοιότητά της με μια άλλη εξίσωση με γνωστή λύση μπορεί να οδηγήσει σε μια «εμπνευσμένη εικασία» για τη λύση. Εάν μια εικασία, όταν δοκιμαστεί, αποτύχει να αποτελέσει λύση, η εξέταση του τρόπου με τον οποίο αποτυγχάνει μπορεί να οδηγήσει σε μια τροποποιημένη εικασία.

Στοιχειώδης άλγεβρα

Εξισώσεις που περιλαμβάνουν απλές γραμμικές ή ρητές συναρτήσεις ενός μοναδικού αγνώστου πραγματικής τιμής, π.χ. Πρότυπο:Mvar, όπως

8 x + 7 = 4 x + 35 ή \frac{4 x + 9}{3 x + 4} = 2,

μπορούν να επιλυθούν με τις μεθόδους της στοιχειώδους άλγεβρας.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Μικρότερα συστήματα γραμμικών εξισώσεων μπορούν να επιλυθούν ομοίως με μεθόδους της στοιχειώδους άλγεβρας. Για την επίλυση μεγαλύτερων συστημάτων χρησιμοποιούνται αλγόριθμοι που βασίζονται στη γραμμική άλγεβρα. Βλέπε Γκαουσιανή απαλοιφή και αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων.

Πολυωνυμικές εξισώσεις

Κύριο άρθρο: Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων

Πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού έως και τέσσερα μπορούν να επιλυθούν με ακρίβεια χρησιμοποιώντας αλγεβρικές μεθόδους, από τις οποίες ο τετραγωνικός τύπος είναι το απλούστερο παράδειγμα. Οι πολυωνυμικές εξισώσεις με βαθμό πέντε ή μεγαλύτερο απαιτούν γενικά αριθμητικές μεθόδους (βλ. παρακάτω) ή ειδικές συναρτήσεις, όπως οι ρίζες Μπρινγκ, αν και ορισμένες ειδικές περιπτώσεις μπορεί να επιλύονται αλγεβρικά, λόγου χάριν

4 x^{5} - x^{3} - 3 = 0

(χρησιμοποιώντας το θεώρημα της ρητής ρίζας), και

x^{6} - 5 x^{3} + 6 = 0,

(με τη χρήση της αντικατάστασης Πρότυπο:Math η οποία το απλοποιεί σε τετραγωνική εξίσωση στο Πρότυπο:Mvar).

Αντίστροφες συναρτήσεις

Στην απλή περίπτωση μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής, ας πούμε, Πρότυπο:Math μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής Πρότυπο:Math για κάποια σταθερά Πρότυπο:Mvar εξετάζοντας αυτό που είναι γνωστό ως αντίστροφη συνάρτηση της Πρότυπο:Mvar.

Δεδομένης μιας συνάρτησης Πρότυπο:Math η αντίστροφη συνάρτηση, η οποία συμβολίζεται με Πρότυπο:Math και ορίζεται ως Πρότυπο:Math είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε

h^{- 1} (h (x)) = h (h^{- 1} (x)) = x .

Τώρα, αν εφαρμόσουμε την αντίστροφη συνάρτηση και στις δύο πλευρές της Πρότυπο:Math}, όπου Πρότυπο:Mvar είναι μια σταθερή τιμή στο Πρότυπο:Mvar, έχουμε

\begin{matrix} h^{- 1} (h (x)) & = h^{- 1} (c) \\ x & = h^{- 1} (c) \end{matrix}

και έχουμε βρει τη λύση της εξίσωσης. Ωστόσο, ανάλογα με τη συνάρτηση, η αντίστροφη μπορεί να είναι δύσκολο να οριστεί ή μπορεί να μην είναι συνάρτηση σε όλο το σύνολο Πρότυπο:Math (μόνο σε κάποιο υποσύνολο), και να έχει πολλές τιμές σε κάποιο σημείο.

Αν αρκεί μόνο μία λύση, αντί για το πλήρες σύνολο λύσεων, είναι στην πραγματικότητα αρκετό αν μόνο η συναρτησιακή ταυτότητα

h (h^{- 1} (x)) = x

κατέχει. Για παράδειγμα, η προβολή Πρότυπο:Math που ορίζεται από την Πρότυπο:Math δεν έχει μετα-αντίστροφο, αλλά έχει ένα προ-αντίστροφο Πρότυπο:Math που ορίζεται από την Πρότυπο:Math. Πράγματι, η εξίσωση Πρότυπο:Math επιλύεται από τη σχέση

(x, y) = π_{1}^{- 1} (c) = (c, 0) .

Παραδείγματα αντίστροφων συναρτήσεων είναι η Πρότυπο:Mvarth ρίζα (αντίστροφη του Πρότυπο:Math), ο λογάριθμος (αντίστροφος του Πρότυπο:Math), οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις και η συνάρτηση W του Λαμπέρ (αντίστροφη του Πρότυπο:Math).

Παραγοντοποίηση

Εάν η αριστερή έκφραση μιας εξίσωσης Πρότυπο:Math μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως Πρότυπο:Math το σύνολο λύσεων της αρχικής λύσης αποτελείται από την ένωση των συνόλων λύσεων των δύο εξισώσεων Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Παραδείγματος χάριν, η εξίσωση

\tan x + \cot x = 2

μπορεί να ξαναγραφεί, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα Πρότυπο:Math ως εξής

\frac{\tan^{2} x - 2 \tan x + 1}{\tan x} = 0,

που μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε

\frac{{(\tan x - 1)}^{2}}{\tan x} = 0 .

Οι λύσεις είναι επομένως οι λύσεις της εξίσωσης Πρότυπο:Math, και συνεπώς είναι το σύνολο

x = \frac{π}{4} + k π, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots .

Αριθμητικές μέθοδοι

Με πιο περίπλοκες εξισώσεις σε πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς, οι απλές μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων μπορεί να αποτύχουν. Συχνά, αλγόριθμοι εύρεσης ρίζας, όπως η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση μιας αριθμητικής λύσης σε μια εξίσωση, η οποία, για ορισμένες εφαρμογές, μπορεί να είναι απολύτως επαρκής για την επίλυση κάποιου προβλήματος. Υπάρχουν επίσης αριθμητικές μέθοδοι για συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Εξισώσεις πινάκων

Οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν πίνακες και διανύσματα πραγματικών αριθμών μπορούν συχνά να επιλυθούν με τη χρήση μεθόδων από τη γραμμική άλγεβρα.

Διαφορικές εξισώσεις

Υπάρχει ένα τεράστιο σύνολο μεθόδων για την επίλυση διαφόρων ειδών διαφορικών εξισώσεων,^[4] τόσο αριθμητικά όσο και αναλυτικά. Μια συγκεκριμένη κατηγορία προβλημάτων που μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει σε αυτή την κατηγορία είναι η ολοκλήρωση και οι αναλυτικές μέθοδοι για την επίλυση αυτού του είδους προβλημάτων ονομάζονται πλέον συμβολική ολοκλήρωση (symbolic integration). Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων μπορεί να είναι άρρητές ή ρητές.^[5]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist Πρότυπο:Reflist

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

[1] Πρότυπο:Cite web

[2] Πρότυπο:Cite book

[3] Πρότυπο:Cite book

[4] Πρότυπο:Cite book

[Zill2012-5] Πρότυπο:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Επίλυση εξισώσεων

Περιεχόμενα

Περιλήψεις

Σύνολα λύσεων

Μέθοδοι επίλυσης

Δοκιμή και σφάλμα, εμπνευσμένη εικασία

Στοιχειώδης άλγεβρα

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πολυωνυμικές εξισώσεις

Αντίστροφες συναρτήσεις

Παραγοντοποίηση

Αριθμητικές μέθοδοι

Εξισώσεις πινάκων

Διαφορικές εξισώσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Επίλυση εξισώσεων

Περιλήψεις

Σύνολα λύσεων

Μέθοδοι επίλυσης

Δοκιμή και σφάλμα, εμπνευσμένη εικασία

Στοιχειώδης άλγεβρα

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πολυωνυμικές εξισώσεις

Αντίστροφες συναρτήσεις

Παραγοντοποίηση

Αριθμητικές μέθοδοι

Εξισώσεις πινάκων

Διαφορικές εξισώσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση