Δεμάτιο (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, το δεμάτιο είναι ένα εργαλείο για τη συστηματική παρακολούθηση δεδομένων (όπως σύνολα, αβελιανές ομάδες, δακτύλιοι) που συνδέονται με τα ανοικτά σύνολα ενός τοπολογικού χώρου και ορίζονται τοπικά ως προς αυτά. Επί παραδείγματι, για κάθε ανοικτό σύνολο, τα δεδομένα θα μπορούσαν να είναι ο δακτύλιος των συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται σε αυτό το ανοικτό σύνολο. Τέτοια δεδομένα συμπεριφέρονται καλά, δεδομένου ότι μπορούν να περιοριστούν σε μικρότερα ανοικτά σύνολα και επίσης τα δεδομένα που αντιστοιχούν σε ένα ανοικτό σύνολο είναι ισοδύναμα με όλες τις συλλογές συμβατών δεδομένων που αντιστοιχούν σε συλλογές μικρότερων ανοικτών συνόλων που καλύπτουν το αρχικό ανοικτό σύνολο (διαισθητικά, κάθε δεδομένο είναι το άθροισμα των δεδομένων που το αποτελούν).

Ο τομέας των μαθηματικών που μελετάει τα δεμάτια ονομάζεται θεωρία δεματίων (sheaf theory).

Τα δεμάτια νοούνται εννοιολογικά ως γενικά και αφηρημένα αντικείμενα. Ο ακριβής ορισμός τους είναι μάλλον τεχνικός. Ορίζονται συγκεκριμένα ως κύματα συνόλων ή ως δεμάτια δακτυλίων, ανάλογα με το είδος των δεδομένων που αποδίδονται στα ανοικτά σύνολα.

Υπάρχουν επίσης χάρτες (ή μορφισμοί) από ένα δεμάτιο σε ένα άλλο- τα δεμάτια (ενός συγκεκριμένου τύπου, όπως τα δεμάτια των αβελιανών ομάδων) με τους μορφισμούς τους σε έναν σταθερό τοπολογικό χώρο σχηματίζουν μια κατηγορία. Από την άλλη πλευρά, κάθε συνεχής χάρτης σχετίζεται τόσο με έναν άμεσο συναρτητή εικόνας, που παίρνει τα δεμάτια και τους μορφισμούς τους στο χώρο σε δεμάτια και μορφισμούς στο συναρτησιακό χώρο, όσο και με έναν αντίστροφο συναρτητή εικόνας που λειτουργεί προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτοί οι τελεστές, καθώς και ορισμένες παραλλαγές τους, είναι βασικά στοιχεία της θεωρίας των δεματίων.

Λόγω της γενικής τους φύσης και της ευελιξίας τους, τα δεμάτια έχουν πολλές εφαρμογές στην τοπολογία και ιδιαίτερα στην αλγεβρική και διαφορική γεωμετρία. Πρώτον, γεωμετρικές δομές, όπως αυτή μιας διαφορίσιμης πολλαπλότητας ή ενός σχήματος, μπορούν να εκφραστούν με όρους ενός δεματίου δακτυλίων στο χώρο. Σε τέτοια πλαίσια, διάφορες γεωμετρικές κατασκευές, όπως διανυσματικές δέσμες ή διαιρέτες, προσδιορίζονται φυσικά με όρους δεματίων. Δεύτερον, τα δεμάτια παρέχουν το πλαίσιο για μια πολύ γενική θεωρία συνομολογίας, η οποία περιλαμβάνει επίσης τις «συνήθεις» τοπολογικές θεωρίες συνομολογίας, όπως η ιδιάζουσα συνομολογία. Ειδικά στην αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία των μιγαδικών πολλαπλοτήτων, η συνομολογία των δεματίων παρέχει έναν ισχυρό σύνδεσμο μεταξύ τοπολογικών και γεωμετρικών ιδιοτήτων των χώρων. Τα δεμάτια παρέχουν επίσης τη βάση για τη θεωρία των D-modules, οι οποίες παρέχουν εφαρμογές στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Επιπλέον, οι γενικεύσεις των δεματίων σε πιο γενικά πλαίσια από τους τοπολογικούς χώρους, όπως η τοπολογία του Γκρότεντιεκ, παρείχαν εφαρμογές στη μαθηματική λογική και στη θεωρία αριθμών.

Ορισμοί και παραδείγματα

Σε πολλούς μαθηματικούς κλάδους, διάφορες δομές που ορίζονται σε έναν τοπολογικό χώρο $X$ (πχ, η διαφορίσιμη πολλαπλότητα) μπορούν φυσικά να εντοπιστούν ή να περιοριστούν σε ανοικτά υποσύνολα $U\subseteq X$: τυπικά παραδείγματα περιλαμβάνουν συνεχείς συναρτήσεις πραγματικής ή μιγαδικής αξίας, $n$-φορές διαφορίσιμες (πραγματικής ή μιγαδικής αξίας) συναρτήσεις, περιορισμένες συναρτήσεις πραγματικής αξίας, διανυσματικά πεδία και τμήματα οποιασδήποτε διανυσματικής δέσμης στο χώρο. Η δυνατότητα περιορισμού των δεδομένων σε μικρότερα ανοικτά υποσύνολα δίνει την έννοια των δεματίων (presheaves). Σε γενικές γραμμές, τα δεμάτια είναι στη συνέχεια αυτά τα presheaves, όπου τα τοπικά δεδομένα μπορούν να συνδεθούν με γενικά δεδομένα.

Presheaves

Έστω $X$ ένας τοπολογικός χώρος. Ένα presheaf $ℱ$ συνόλων στον $X$ αποτελείται από τα ακόλουθα δεδομένα:

• Για κάθε ανοικτό σύνολο $U\subseteq X$, υπάρχει ένα σύνολο $ℱ(U)$. Το σύνολο αυτό συμβολίζεται επίσης ως $\mathrm{\Gamma }(U,ℱ)$. Τα στοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζονται τμήματα του $ℱ$ πάνω στο $U$. Τα τμήματα του $ℱ$ πάνω από το $X$ ονομάζονται καθολικά τμήματα του $ℱ$.
• Για κάθε συμπερίληψη ανοικτών συνόλων $V\subseteq U$, μια συνάρτηση ${\mathrm{res}}_V^U:ℱ(U)\to ℱ(V)$. Λόγω πολλών από τα παραδείγματα που ακολουθούν, οι μορφισμοί ${\text{res}}_V^U$ ονομάζονται μορφισμοί περιορισμού. Αν $s\in ℱ(U)$, τότε ο περιορισμός του ${\text{res}}_V^U(s)$ συχνά συμβολίζεται $s{|}_V$ κατ' αναλογία με τον περιορισμό των συναρτήσεων.

Οι μορφισμοί περιορισμού απαιτείται να ικανοποιούν δύο πρόσθετες λειτουργικές) ιδιότητες:

• Για κάθε ανοικτό σύνολο $U$ του $X$, ο μορφισμός περιορισμού ${\mathrm{res}}_U^U:ℱ(U)\to ℱ(U)$ είναι ο μορφισμός ταυτότητας στο $ℱ(U)$.
• Αν έχουμε τρία ανοικτά σύνολα $W\subseteq V\subseteq U$, τότε η σύνθεση ${\text{res}}_W^V\circ {\text{res}}_V^U={\text{res}}_W^U$

Άτυπα, το δεύτερο αξίωμα λέει ότι δεν έχει σημασία αν περιορίζουμε στο $W$ σε ένα βήμα ή αν περιορίζουμε πρώτα στο $V$ και μετά στο $W$. Μια συνοπτική συναρτησιακή αναδιατύπωση αυτού του ορισμού δίνεται παρακάτω.

Πολλά παραδείγματα presheaves προέρχονται από διάφορες κατηγορίες συναρτήσεων: σε κάθε $U$, μπορεί κανείς να αναθέσει το σύνολο $C^0(U)$ των συνεχών συναρτήσεων πραγματικών τιμών στο $U$. Οι χάρτες περιορισμού δίνονται τότε απλά από τον περιορισμό μιας συνεχούς συνάρτησης στο $U$ σε ένα μικρότερο ανοικτό υποσύνολο $V\subseteq U$, το οποίο είναι και πάλι μια συνεχής συνάρτηση. Τα δύο αξιώματα των πρεσβυφυρών ελέγχονται αμέσως, δίνοντας έτσι ένα παράδειγμα πρεσβυφυρών. Αυτό μπορεί να επεκταθεί σε ένα πρίσμα ολόμορφων συναρτήσεων $\mathscr{H}(-)$ και σε ένα presheaf λείων συναρτήσεων $C^{\mathrm{\infty }}(-)$.

Μια άλλη κοινή κατηγορία παραδειγμάτων είναι η ανάθεση στο $U$ του συνόλου των σταθερών συναρτήσεων πραγματικών τιμών στο $U$. Αυτό το presheaf ονομάζεται constant presheaf που σχετίζεται με το $ℝ$ και συμβολίζεται ${\underset{\_}{ℝ}}^{\text{psh}}$.

Δεμάτια

Δεδομένου ενός presheaf, ένα φυσικό ερώτημα που τίθεται είναι σε ποιο βαθμό τα τμήματά του πάνω από ένα ανοικτό σύνολο $U$ καθορίζονται από τους περιορισμούς τους σε ανοικτά υποσύνολα του $U$. Ένα δεμάτιο είναι ένα presheaf του οποίου τα τμήματα είναι, με μια τεχνική έννοια, μοναδικά καθορισμένα από τους περιορισμούς τους.

Σύμφωνα με αξιωματικά κριτήρια, ένα δεμάτιο είναι ένα presheaf που ικανοποιεί τα ακόλουθα δύο αξιώματα:

1. (Τοπικότητα) Ας υποθέσουμε ότι $U$ είναι ένα ανοικτό σύνολο, $\{U_i{\}}_{i\in I}$ είναι ένα ανοικτό κάλυμμα του $U$ με $U_i\subseteq U$ για όλα τα $i\in I$, και $s,t\in ℱ(U)$ είναι τμήματα. Αν $s{|}_{U_i}=t{|}_{U_i}$ για όλα τα $i\in I$, τότε $s=t$.
2. (Συγκόλληση) Έστω ότι $U$ είναι ένα ανοικτό σύνολο, $\{U_i{\}}_{i\in I}$ είναι ένα ανοικτό κάλυμμα του $U$ με $U_i\subseteq U$ για όλα τα $i\in I$, και $\{s_i\in ℱ(U_i){\}}_{i\in I}$ είναι μια οικογένεια τμημάτων. Αν όλα τα ζεύγη των τομών συμφωνούν στην επικάλυψη των περιοχών τους, δηλαδή αν $s_i{|}_{U_i\cap U_j}=s_j{|}_{U_i\cap U_j}$ για όλα τα $i,j\in I$, τότε υπάρχει τμήμα $s\in ℱ(U)$ τέτοιο ώστε $s{|}_{U_i}=s_i$ για όλα τα $i\in I$.

Και στα δύο αυτά αξιώματα, η υπόθεση για το ανοιχτό κάλυμμα είναι ισοδύναμη με την υπόθεση ότι $\bigcup _{i\in I}{U}_i=U$.

Το τμήμα $s$ του οποίου η ύπαρξη εξασφαλίζεται από το αξίωμα 2 ονομάζεται συγκόλληση, συνένωση ή παράθεση των τμημάτων $s_i$. Σύμφωνα με το αξίωμα 1 είναι μοναδικό. Τα τμήματα $s_i$ και $s_j$ που ικανοποιούν την προϋπόθεση συμφωνίας του αξιώματος 2 συχνά ονομάζονται συμβατά ; έτσι τα αξιώματα 1 και 2 μαζί δηλώνουν ότι οποιαδήποτε συλλογή από κατά ζεύγη συμβατά τμήματα μπορεί να συγκολληθεί μοναδικά. Ένας διαχωρισμένος presheaf, ή monopresheaf, είναι ένα presheaf που ικανοποιεί το αξίωμα 1.

Το presheaf που αποτελείται από τις συνεχείς συναρτήσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω είναι ένα δεμάτιο. Ο ισχυρισμός αυτός ανάγεται στον έλεγχο ότι, δεδομένων συνεχών συναρτήσεων $f_i:U_i\to ℝ$ που συμφωνούν στις τομές $U_i\cap U_j$, υπάρχει μια μοναδική συνεχής συνάρτηση $f:U\to ℝ$ της οποίας ο περιορισμός ισούται με την $f_i$. Αντίθετα, το "constant presheaf" συνήθως δεν είναι δεμάτιο καθώς δεν ικανοποιεί το αξίωμα της τοπικότητας στο κενό σύνολο (αυτό εξηγείται αναλυτικότερα στο constant δεμάτιο).

Τα presheaves και τα δεμάτια συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα, με το $F$ να είναι ιδιαίτερα συνηθισμένο, προφανώς εξαιτίας της γαλλικής λέξης για το δεμάτιο, faisceau. Η χρήση καλλιγραφικών γραμμάτων όπως $ℱ$ είναι επίσης συνηθισμένη.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι για να προσδιορίσουμε ένα δεμάτιο, αρκεί να προσδιορίσουμε τον περιορισμό του στα ανοικτά σύνολα μιας βάσης για την τοπολογία του υποκείμενου χώρου. Επιπλέον, μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι αρκεί να επαληθεύσουμε τα παραπάνω αξιώματα της στιβάδας σε σχέση με τα ανοικτά σύνολα μιας κάλυψης. Η παρατήρηση αυτή χρησιμοποιείται για την κατασκευή ενός άλλου παραδείγματος που είναι κρίσιμο στην αλγεβρική γεωμετρία, δηλαδή των οιονεί συνεκτικών δεματίων. Εδώ ο εν λόγω τοπολογικός χώρος είναι το φάσμα ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου $R$, του οποίου τα σημεία είναι τα πρώτα ιδεώδη $𝔭$ στον $R$. Τα ανοικτά σύνολα $D_f:=\{\{𝔭\subseteq R,f\notin 𝔭\}$ αποτελούν μια βάση για την τοπολογία Ζαρίσκι σε αυτόν τον χώρο. Δεδομένου ενός $R$-μονάδας $M$, υπάρχει ένα δεμάτιο, που συμβολίζεται με $\tilde{M}$ στο $\mathrm{Spec}R$, που ικανοποιεί

$\tilde{M}(D_f):=M[1/f],$ ο εντοπισμός του $M$ στο $f$.

Υπάρχει ένας άλλος χαρακτηρισμός των δεματίων που είναι ισοδύναμος με αυτόν που συζητήθηκε προηγουμένως.

Ένα presheaf $ℱ$ είναι δεμάτιο αν και μόνο αν για κάθε ανοικτό $U$ και κάθε ανοικτό κάλυμμα $\{U_a\}$ του $U$, $ℱ(U)$ είναι το νηματικό γινόμενο$ℱ(U)\cong ℱ(U_a){\times }_{ℱ(U_a\cap U_b)}ℱ(U_b)$. Αυτός ο χαρακτηρισμός είναι χρήσιμος στην κατασκευή κυψελών, παραδείγματος χάριν, αν $ℱ,𝒢$ είναι αβελιανά δεμάτια, τότε ο πυρήνας του μορφισμού δεματίων $ℱ\to 𝒢$ είναι ένα δεμάτιο, αφού τα προβολικά όρια ανταλλάσσονται με τα προβολικά όρια. Από την άλλη πλευρά, ο συμπυρήνας δεν είναι πάντοτε δεμάτιο, επειδή το επαγωγικό όριο δεν αντιμετατίθεται απαραίτητα με τα προβολικά όρια. Ένας από τους τρόπους για να το διορθώσουμε αυτό είναι να θεωρήσουμε Nαιτεριανούς χώρους- κάθε ανοιχτό σύνολο είναι συμπαγές, έτσι ώστε ο συμπυρήνας να είναι δεμάτιο, αφού τα πεπερασμένα προβολικά όρια αντιμετατίθενται με τα επαγωγικά όρια.

Περαιτέρω παραδείγματα

Τμημάτα δεματίου μιας συνεχής απεικόνιση

Κάθε συνεχής απεικόνιση $f:Y\to X$ των τοπολογικών χώρων καθορίζει μια στήλη $\mathrm{\Gamma }(Y/X)$ στο $X$ θέτοντας

$\mathrm{\Gamma }(Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s={\mathrm{id}}_U\}.$

Κάθε τέτοιο $s$ ονομάζεται συνήθως τμήμα του $f$, και αυτό το παράδειγμα είναι ο λόγος για τον οποίο τα στοιχεία του $ℱ(U)$ ονομάζονται γενικά τμήματα. Αυτή η κατασκευή είναι ιδιαίτερα σημαντική όταν η $f$ είναι η προβολή μιας δέσμης ινών στο βασικό της χώρο. Παραδείγματος χάριν, δεμάτια των λείων συναρτήσεων είναι οι δεμάτια των τμημάτων της τετριμμένης δέσμης.

Ένα άλλο παράδειγμα: το δεμάτιο των τμημάτων του

$ℂ\stackrel{\exp }{⟶}ℂ\setminus \{0\}$

είναι ταδεμάτια που αναθέτει σε κάθε $U\subseteq ℂ\setminus \{0\}$ το σύνολο των κλάδων του μιγαδικού λογαρίθμου στο $U$.

Δοθέντος ενός σημείου $x$ και μιας αβελιανής ομάδας $S$, το skyscraper δεμάτιο $S_x$ ορίζεται ως εξής: αν $U$ είναι ένα ανοικτό σύνολο που περιέχει το $x$, τότε $S_x(U)=S$. Αν $U$ δεν περιέχει $x$, τότε $S_x(U)=0$, η τετριμμένη ομάδα. Οι απεικονίσεις περιορισμού είναι είτε η ταυτότητα στην $S$, αν και τα δύο ανοικτά σύνολα περιέχουν $x$, είτε η αλλιώς μηδενική απεικόνιση.

Δεμάτια σε πολλαπλότητες

Σε μια $n$-διάστατη $C^k$-πολλαπλότητα $M$, υπάρχει ένας αριθμός σημαντικών δεματίων όπως το δεμάτιο των $j$-φορές συνεχώς διαφορίσιμων συναρτήσεων ${𝒪}_M^j$ (με $j\le k$). Τα τμήματά της σε κάποιο ανοικτό $U$ είναι οι $C^j$-συναρτήσεις $U\to ℝ$. Για $j=k$, αυτή το εμάτιο ονομάζεται δομή δεματίου και συμβολίζεται ${𝒪}_M$. Οι μη μηδενικές συναρτήσεις $C^k$ σχηματίζουν επίσης ένα δεμάτιο, το οποίο συμβολίζεται ${𝒪}_X^{\times }$. Οι διαφορικές μορφές (βαθμού $p$) σχηματίζουν επίσης ένα δεμάτιο ${\mathrm{\Omega }}_M^p$. Σε όλα αυτά τα παραδείγματα, οι μορφισμοί περιορισμού δίνονται από περιοριστικές συναρτήσεις ή μορφές.

Η ανάθεση που στέλνει το $U$ στις συμπαγώς υποστηριζόμενες συναρτήσεις στο $U$ δεν είναι ένα δεμάτιο, καθώς δεν υπάρχει, γενικά, κανένας τρόπος να διατηρηθεί αυτή η ιδιότητα με το πέρασμα σε ένα μικρότερο ανοικτό υποσύνολο. Αντ' αυτού, αυτό σχηματίζει ένα cosheaf, μια διπλή έννοια όπου οι χάρτες περιορισμού πηγαίνουν προς την αντίθετη κατεύθυνση από ό,τι με τα δεμάτια . Ωστόσο, λαμβάνοντας το δυϊκό αυτών των διανυσματικών χώρων προκύπτει ένα δεμάτιο, οι κατανομές των δεματίων.

Presheaves δεν είναι δεμάτια

Εκτός από το constant presheaf που αναφέρθηκε παραπάνω, το οποίο συνήθως δεν είναι δεμάτιο, υπάρχουν και άλλα παραδείγματα presheaves που δεν είναι δεμάτια:

• Έστω $X$ ο τοπολογικός χώρος δύο σημείων $\{x,y\}$ με διακριτή τοπολογία. Ορίστε ένα πρίσμα $F$ ως εξής: $F(\varnothing )=\{\varnothing \},F(\{x\})=ℝ,F(\{y\})=ℝ,F(\{x,y\})=ℝ\times ℝ\times ℝ$ Ο χάρτης περιορισμού $F(\{x,y\})\to F(\{x\})$ είναι η προβολή του $ℝ\times ℝ\times ℝ$ στην πρώτη συντεταγμένη του, και ο χάρτης περιορισμού $F(\{x,y\})\to F(\{y\})$ είναι η προβολή του $ℝ\times ℝ\times ℝ$ στη δεύτερη συντεταγμένη του. Το $F$ είναι ένα δεμάτιο που δεν διαχωρίζεται: ένα συνολικό τμήμα καθορίζεται από τρεις αριθμούς, αλλά οι τιμές αυτού του τμήματος πάνω στα $\{x\}$ και $\{y\}$ καθορίζουν μόνο δύο από αυτούς τους αριθμούς. Έτσι, ενώ μπορούμε να κολλήσουμε οποιαδήποτε δύο τμήματα πάνω από τα $\{x\}$ και $\{y\}$, δεν μπορούμε να τα ενώσουμε μοναδικά.
• Έστω $X=ℝ$ η πραγματική γραμμή, και έστω $F(U)$ το σύνολο των περιορισμένων συνεχών συναρτήσεων στην $U$. Αυτό δεν είναι ένα δεμάτιο επειδή δεν είναι πάντα δυνατό να κολληθεί. Για παράδειγμα, έστω $U_i$ το σύνολο όλων των $x$ τέτοιων ώστε $|x|<i$. Η συνάρτηση ταυτότητας $f(x)=x$ είναι περιορισμένη σε κάθε $U_i$. Κατά συνέπεια, έχουμε μια τομή $s_i$ στην $U_i$. Ωστόσο, αυτά τα τμήματα δεν κολλάνε, επειδή η συνάρτηση $f$ δεν είναι περιορισμένη στην πραγματική γραμμή. Κατά συνέπεια, η $F$ είναι ένα presheaf, αλλά όχι ένα δεμάτιο. Στην πραγματικότητα, η $F$ διαχωρίζεται επειδή είναι sub-presheaf του δεματίου των συνεχών συναρτήσεων.

Κίνητρα για δεμάτια από μιγαδικους αναλυτικούς χώρους και αλγεβρική γεωμετρία

Ένα από τα ιστορικά κίνητρα για τα δεμάτια προήλθε από τη μελέτη των σύνθετων πολλαπλοτήτων, της μιγαδικής αναλυτικής γεωμετρίας, και της θεωρίας σχημάτων από την αλγεβρική γεωμετρία. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις, θεωρούμε έναν τοπολογικό χώρο $X$ μαζί με μια δομή δεματίου $𝒪$ που του δίνει τη δομή μιας μιγαδικής πολλαπλότητας, ενός μιγαδικού αναλυτικού χώρου ή ενός σχήματος. Αυτή η προοπτική του εφοδιασμού ενός τοπολογικού χώρου με ένα δεμάτιο είναι ουσιώδης για τη θεωρία των τοπικά δακτυλιοειδών χώρων (βλ. παρακάτω).

Τεχνικές προκλήσεις με μιγαδικές πολλαπλότητες

Ένα από τα κύρια ιστορικά κίνητρα για την εισαγωγή των δεματίων ήταν η κατασκευή μιας συσκευής που να παρακολουθεί τις ολόμορφες συναρτήσεις σε μιγαδικές πολλαπλότητες. Επί παραδείγματι, σε μια συμπαγή μιγαδική πολλαπλότητα

$X$

(όπως ο μιγαδικός προβολικός χώρος ή ο τόπος φυγής στον προβολικό χώρο ενός ομογενούς πολυωνύμου), οι μόνες ολόμορφες συναρτήσεις

$f:X\to ℂ$

είναι οι σταθερές συναρτήσεις. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο συμπαγείς μιγαδικές πολλαπλότητες

$X,X^{\prime }$

που δεν είναι ισόμορφες, αλλά παρ' όλα αυτά οι δακτύλιοι των συνολικών ολομορφικών συναρτήσεων τους, που συμβολίζονται με

$\mathscr{H}(X),\mathscr{H}(X^{\prime })$

, είναι ισόμορφες. Σε αντίθεση με τις λείες πολλαπλότητες, όπου κάθε πολλαπλότητα

$M$

μπορεί να ενσωματωθεί μέσα σε κάποια

${ℝ}^n$

, άρα ο δακτύλιος των λείων συναρτήσεων

$C^{\mathrm{\infty }}(M)$

προέρχεται από τον περιορισμό των λείων συναρτήσεων από την

$C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$

.

Μια άλλη δυσκολία κατά την εξέταση του δακτυλίου των ολόμορφων συναρτήσεων σε μια μιγαδική πολλαπλότητα $X$ είναι ότι δεδομένου ενός αρκετά μικρού ανοικτού συνόλου $U\subseteq X$, οι ολόμορφες συναρτήσεις θα είναι ισομορφικές με $\mathscr{H}(U)\cong \mathscr{H}({ℂ}^n)$. Το δεμάτιο είναι ένα άμεσο εργαλείο για την αντιμετώπιση αυτής της πολυπλοκότητας, καθώς καθιστούν δυνατή την παρακολούθηση της ολομορφικής δομής στον υποκείμενο τοπολογικό χώρο του $X$ σε αυθαίρετα ανοικτά υποσύνολα $U\subseteq X$. Αυτό σημαίνει ότι καθώς το $U$ γίνεται πιο σύνθετο τοπολογικά, ο δακτύλιος $\mathscr{H}(U)$ μπορεί να εκφραστεί από τη συγκόλληση του $\mathscr{H}(U_i)$. Ας σημειωθεί ότι μερικές φορές αυτό το δεμάτιο συμβολίζεται $𝒪(-)$ ή απλά $𝒪$, ή ακόμα και ${𝒪}_X$ όταν θέλουμε να δώσουμε έμφαση στο χώρο με τον οποίο συνδέεται η δομή του δεματίου.

Παρακολούθηση υποπολλαπλότητες με δεμάτια

Ένα άλλο κοινό χαρακτηριστικό των δεματίων είναι ότι μπορουν να κατασκευαστούν από μια μιγαδική υποπολλαπλότητα $Y\hookrightarrow X$. Υπάρχει ένα σχετικό δεμάτιο${𝒪}_Y$ το οποίο παίρνει ένα ανοικτό υποσύνολο $U\subseteq X$ και δίνει το δακτύλιο των ολομορφικών συναρτήσεων στο $U\cap Y$. Αυτό το είδος του φορμαλισμού βρέθηκε να είναι εξαιρετικά ισχυρό και αποτελεί κίνητρο για πολλή ομολογική άλγεβρα, όπως η συνομολογία των δεματίων, αφού μια θεωρία τομής μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τέτοιου είδους δεματίων από τη φόρμουλα τομής Σερ.

Πράξεις με δεμάτια

Μορφισμοί

Οι μορφισμοί των δεματίων είναι, κατά προσέγγιση, ανάλογοι με τις συναρτήσεις μεταξύ τους. Σε αντίθεση με μια συνάρτηση μεταξύ συνόλων, η οποία είναι απλώς μια ανάθεση εξόδων σε εισόδους, οι μορφισμοί των δεματίων απαιτούνται επίσης να είναι συμβατοί με τις τοπικές-συνολικές δομές των υποκείμενων δεματίων. Αυτή η ιδέα διατυπώνεται με ακρίβεια στον ακόλουθο ορισμό.

Έστω $ℱ$ and $𝒢$ δύο σύνολα δεματίων (αντίστοιχα αβελιανών ομάδων, δακτυλίων, κ.λπ.) στο $X$. Ένας μορφισμός $\phi :ℱ\to 𝒢$ αποτελείται από έναν μορφισμό ${\phi }_U:ℱ(U)\to 𝒢(U)$ συνόλων (αντίστοιχα αβελιανών ομάδων, δακτυλίων, κλπ. ) για κάθε ανοικτό σύνολο $U$ του $X$, με την προϋπόθεση ότι ο μορφισμός αυτός είναι συμβατός με περιορισμούς. Με άλλα λόγια, για κάθε ανοικτό υποσύνολο $V$ ενός ανοικτού συνόλου $U$, το ακόλουθο διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό.

$\begin{array}{ccc}ℱ(U)& \stackrel{{\phi }_U}{\to }& 𝒢(U)\\ r_V^U\downarrow & & \downarrow {r^{\prime }}_V^U\\ ℱ(V)& \underset{{\phi }_V}{\overset{}{\to }}& 𝒢(V)\end{array}$

Επί παραδείγματι, η λήψη της παραγώγου παράγει έναν μορφισμό δεματίων στο $ℝ$, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}:{𝒪}_{ℝ}^n\to {𝒪}_{ℝ}^{n-1}.$ Πράγματι, δεδομένης μιας ($n$-φορές συνεχώς διαφορίσιμης) συνάρτησης $f:U\to ℝ$ (με $U$ στο $ℝ$ ανοιχτό), ο περιορισμός (σε ένα μικρότερο ανοιχτό υποσύνολο $V$) της παραγώγου της ισούται με την παράγωγο της $f{|}_V$.

Με αυτή την έννοια του μορφισμού, τα δεμάτια συνόλων (αντίστοιχα αβελιανών ομάδων, δακτυλίων κ.λπ.) σε έναν σταθερό τοπολογικό χώρο $X$ σχηματίζουν μια κατηγορία. Οι γενικές κατηγορικές έννοιες των μονο-, επι- και ισομορφισμών μπορούν επομένως να εφαρμοστούν σε δεμάτια.

Ένας μορφισμός $\phi :ℱ\to 𝒢$ των δεματίων στο $X$ είναι ένας ισομορφισμός (αντίστοιχα μονομορφισμός) αν και μόνο αν υπάρχει ένα ανοικτό κάλυμμα $\{U_{\alpha }\}$ του $X$ έτσι ώστε $\phi {|}_{U_{\alpha }}:ℱ(U_{\alpha })\to 𝒢(U_{\alpha })$ να είναι ισομορφισμοί (αντίστοιχα εγχυτικοί μορφισμοί) συνόλων (αντίστοιχα αβελιανών ομάδων, δακτύλιοι, κ.λπ. ) για όλα τα $\alpha$. Αυτές οι δηλώσεις δίνουν παραδείγματα για το πώς μπορούμε να εργαστούμε με δεμάτια χρησιμοποιώντας τοπικές πληροφορίες, αλλά είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι δεν μπορούμε να ελέγξουμε αν ένας μορφισμός δεματίων είναι επιμορφισμός με τον ίδιο τρόπο. Πράγματι, η δήλωση ότι οι απεικονίσεις στο επίπεδο των ανοικτών συνόλων ${\phi }_U:ℱ(U)\to 𝒢(U)$ δεν είναι πάντοτε επιβλητικοί για επιμορφισμούς δεματίων είναι ισοδύναμη με τη μη-πραγματικότητα του συναρτητή των συνολικών τμημάτων - ή ισοδύναμα, μη-τετριμμένα της συνομολογίας των δεματίων.

Stalks ενός δεματίου

Τα Stalks ${ℱ}_x$ ενός δεματίου $ℱ$ αποτυπώνουν τις ιδιότητες μιας στιβάδας «γύρω» από ένα σημείο $x\in X$, γενικεύοντας τα φύτρα των συναρτήσεων. Εδώ, «γύρω» σημαίνει ότι, εννοιολογικά μιλώντας, εξετάζουμε όλο και μικρότερες γειτονιές του σημείου. Φυσικά, καμία γειτονιά δεν θα είναι αρκετά μικρή, γεγονός που απαιτεί την εξέταση κάποιου είδους ορίου. Πιο συγκεκριμένα, το στέλεχος ορίζεται ως εξής

${ℱ}_x=\underset{U\ni x}{\underrightarrow{\lim }}ℱ(U),$

το άμεσο όριο είναι σε όλα τα ανοικτά υποσύνολα του $X$ που περιέχουν το δεδομένο σημείο $x$. Με άλλα λόγια, ένα στοιχείο του στελέχους δίνεται από ένα τμήμα πάνω σε κάποια ανοικτή περιοχή του $x$, και δύο τέτοια τμήματα θεωρούνται ισοδύναμα αν οι περιορισμοί τους συμφωνούν σε μια μικρότερη περιοχή.

Ο φυσικός μορφισμός $ℱ(U)\to {ℱ}_x$ μεταφέρει ένα τμήμα $s$ στο $ℱ(U)$ στο σπέρμα του $s_x$ στο $x$. Αυτό γενικεύει τον συνήθη ορισμό του σπέρματος.

Σε πολλές περιπτώσεις, η γνώση των στελεχών ενός δεματίου είναι αρκετή για τον έλεγχο του ίδιου του δεματίου. Επί παραδείγματι, το αν ένας μορφισμός δεματίων είναι μονομορφισμός, επιμορφισμός ή ισομορφισμός μπορεί να ελεγχθεί με βάση τα στελέχη. Με αυτή την έννοια, ένας σωρός καθορίζεται από τα στελέχη του, τα οποία αποτελούν τοπικά δεδομένα. Αντίθετα, οι σφαιρικές πληροφορίες που υπάρχουν σε ένα δεμάτιο, δηλαδή οι σφαιρικές τομές, δηλαδή οι τομές $ℱ(X)$ σε ολόκληρο το χώρο $X$, συνήθως φέρουν λιγότερες πληροφορίες. Παραδείγματος χάριν, για μια συμπαγή μιγαδική πολλαπλότητα $X$, τα καθολικά τμήματα της σφαίρας των ολόμορφων συναρτήσεων είναι απλά $ℂ$, αφού κάθε ολόμορφη συνάρτηση

$X\to ℂ$

είναι σταθερά σύμφωνα με το θεώρημα του Λιουβίλ.

Μετατροπή ενός presheaf σε δεμάτιο

Συχνά είναι χρήσιμο να παίρνουμε τα δεδομένα που περιέχονται σε ένα presheaf και να το εκφράζουμε ως δεμάτιο. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένας καλύτερος δυνατός τρόπος για να γίνει αυτό. Παίρνουμε ένα presheaf $ℱ$ και παράγουμε έναν νέο δεμάτιο $aℱ$ που ονομάζεται sheafification ή δεμάτιο που σχετίζεται με το presheaf $ℱ$. Παραδείγματος χάριν, η sheafification του constant presheaf (βλ. παραπάνω) ονομάζεται constant δεμάτιο. Παρά το όνομά της, τα τμήματά της είναι τοπικά σταθερές συναρτήσεις.

Το δεμάτιο $aℱ$ μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τον χώρο étal $E$ του $ℱ$, δηλαδή ως δεμάτιο των τμημάτων του χάρτη

$E\to X.$

Μια άλλη κατασκευή δεματίου $aℱ$ γίνεται με τη βοήθεια ενός συναρτητή $L$ από presheaves σε presheaves που βελτιώνει σταδιακά τις ιδιότητες ενός presheaf: για κάθε presheaf $ℱ$, $Lℱ$ είναι ένα διαχωρισμένο presheaf, και για κάθε διαχωρισμένο presheaf $ℱ$, $Lℱ$ είναι ένα δεμάτιο. Ο σχετικός πίνακας $aℱ$ δίνεται από την $LLℱ$.

Η ιδέα ότι το δεμάτιο $aℱ$ είναι η καλύτερη δυνατή προσέγγιση της $ℱ$ από ένα δεμάτιο γίνεται ακριβής χρησιμοποιώντας την ακόλουθη καθολική ιδιότητα: Υπάρχει ένας φυσικός μορφισμός των presheaves $i:ℱ\to aℱ$ έτσι ώστε για κάθε δεμάτιο $𝒢$ και κάθε μορφισμό των presheaves $f:ℱ\to 𝒢$, υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός δεματίων $\tilde{f}:aℱ\to 𝒢$ έτσι ώστε $f=\tilde{f}i$. Στην πραγματικότητα, το $a$ είναι ο αριστερός παράπλευρος συναρτητής του συναρτητή εγκλεισμού (ή συναρτητή επιλήσμων) από την κατηγορία των δεματίων στην κατηγορία των presheaves, και $i$ είναι η μονάδα adjunction. Με αυτόν τον τρόπο, η κατηγορία των δεματίων μετατρέπεται σε υποκατηγορία Γκιρό των presheaves. Αυτή η κατηγορική κατάσταση είναι ο λόγος για τον οποίο ο συναρτητής sheafification εμφανίζεται στην κατασκευή συμπυρήνων (cokernel) των μορφισμών δεματίων ή τανυστικών γινομένων των δεματίων, αλλά όχι για πυρήνες.

Subsheaves, πηλίκα δεματίων

Αν η $K$ είναι subsheaf του δεματίου $F$ αβελιανών ομάδων, τότε η πηλίκο δεματίου $Q$ είναι το δεμάτιο που σχετίζεται με το presheaf $U\mapsto F(U)/K(U)$- με άλλα λόγια, το πηλίκο πίνακα ταιριάζει σε μια ακριβή ακολουθία από δεμάτια αβελιανών ομάδων,

$0\to K\to F\to Q\to 0.$

(αυτό καλείται επίσης επέκταση δεματίου)

Έστω $F,G$ δεμάτια αβελιανών ομάδων. Το σύνολο $\mathrm{Hom}(F,G)$ των μορφισμών των δεματίων από την $F$ στην $G$ σχηματίζει μια αβελιανή ομάδα (από τη δομή της αβελιανής ομάδας της $G$). Το δεμάτιο hom των $F$ και $G$, που συμβολίζεται με,

$\mathscr{H}ℴ𝓂(F,G)$

είναι η δεμάτιο των αβελιανών ομάδων $U\mapsto \mathrm{Hom}(F{|}_U,G{|}_U)$ όπου $F{|}_U$ είναι το δεμάτιο στην $U$ που δίνεται από την $(F{|}_U)(V)=F(V)$ (σημειώστε ότι η sheafification δεν χρειάζεται εδώ). Το άμεσο άθροισμα των $F$ και $G$ είναι το δεμάτιο που δίνεται από τη σχέση $U\mapsto F(U)\oplus G(U)$, και το τανυστικό γινόμενο των $F$ και $G$ είναι το δεμάτιο που σχετίζεται με το presheaf $U\mapsto F(U)\otimes G(U)$.

Όλες αυτές οι πράξεις επεκτείνονται σε δεμάτια modules πάνω από ένα δεμάτιο δακτυλίων $A$- η παραπάνω είναι η ειδική περίπτωση όταν $A$ είναι constant δεμάτιο $\underset{\_}{𝐙}$.

Βασική λειτουργικότητα

Δεδομένου ότι τα δεδομένα ενος (προ)δεματίου εξαρτώνται από τα ανοικτά υποσύνολα του βασικού χώρου, τσ δεμάτια σε διαφορετικούς τοπολογικούς χώρους δεν σχετίζονται μεταξύ τους με την έννοια ότι δεν υπάρχουν μορφισμοί μεταξύ τους. Ωστόσο, δεδομένου ενός συνεχούς χάρτη $f:X\to Y$ μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων, η προώθηση (pushforward) και η επαναφορά (pullback) συνδέουν τα δεμάτια στον $X$ με αυτές στον $Y$ και αντίστροφα.

Άμεση εικόνα

Το pushforward (επίσης γνωστό ως άμεση εικόνα) ενος δεματίου $ℱ$ στο $X$ είναι ενα δεμάτιο που ορίζεται από την ακόλουθη σχέση

$(f_{*}ℱ)(V)=ℱ(f^{-1}(V)).$

Εδώ το $V$ είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του $Y$, έτσι ώστε η προ εικόνα του να είναι ανοικτή στο $X$ από τη συνέχεια του $f$.

Αυτή η κατασκευή ανακτά το skyscraper δεμάτιο $S_x$ που αναφέρθηκε παραπάνω:

$S_x=i_{*}(S)$

όπου $i:\{x\}\to X$ είναι η συμπερίληψη, και $S$ θεωρείται ως δεμάτιο στο μονοσύνολο με $S(\{*\})=S,S(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }$.

Για έναν χάρτη μεταξύ τοπικά συμπαγών χώρων, η άμεση εικόνα με συμπαγή υποστήριξη είναι subsheaf της άμεσης εικόνας. Εξ ορισμού, $(f_{!}ℱ)(V)$ αποτελείται από εκείνα τα $s\in ℱ(f^{-1}(V))$ των οποίων η υποστήριξη απεικονίζεται κατάλληλα. Αν η $f$ είναι η ίδια κατάλληλη, τότε η $f_{!}ℱ=f_{*}ℱ$, αλλά γενικά διαφωνούν.

Αντίστροφη εικόνα

Το pullback ή η αντίστροφη εικόνα πηγαίνει με τον άλλο τρόπο: παράγει ένα δεμάτιο στο $X$, που συμβολίζεται με $f^{-1}𝒢$ από μια στιβάδα $𝒢$ στο $Y$. Αν η $f$ είναι η ενσωμάτωση ενός ανοικτού υποσυνόλου, τότε η αντίστροφη εικόνα είναι απλώς ένας περιορισμός, δηλαδή δίνεται από τη σχέση $(f^{-1}𝒢)(U)=𝒢(U)$ για ένα ανοικτό $U$ στο $X$. Ένα δεμάτιο $ℱ$ (σε κάποιο χώρο $X$) ονομάζεται τοπικά σταθερή αν $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$ από κάποια ανοικτά υποσύνολα$U_i$ έτσι ώστε ο περιορισμός του $ℱ$ σε όλα αυτά τα ανοικτά υποσύνολα να είναι σταθερά. Σε ένα ευρύ φάσμα Σε ένα ευρύ φάσμα τοπολογικών χώρων $X$, τέτοια δεμάτια είναι ισοδύναμα με απεικονίσεις της θεμελιώδους ομάδας ${\pi }_1(X)$.

Για τους γενικούς χάρτες $f$, ο ορισμός του $f^{-1}𝒢$ είναι πιο περίπλοκος- αναλύεται λεπτομερώς στον τελεστή αντίστροφης εικόνας. Το στέλεχος είναι μια ουσιαστική ειδική περίπτωση του pullback ενόψει μιας φυσικής ταύτισης, όπου $i$ είναι όπως παραπάνω:

${𝒢}_x=i^{-1}𝒢(\{x\}).$

Γενικότερα, οι μίσχοι ικανοποιούν $(f^{-1}𝒢{)}_x={𝒢}_{f(x)}$.

Χώροι και τοποθεσίες

Οι εικασίες Βάιλ του Αντρέ Βάιλ ανέφεραν ότι υπάρχει μια θεωρία συνομολογίας για αλγεβρικές ποικιλίες πάνω σε πεπερασμένα σώματα που θα έδινε ένα ανάλογο της υπόθεσης Ρίμαν. Η συνομολογία μιας μιγαδικής πολλαπλότητας μπορεί να οριστεί ως η συνομολογία του δεματίου του τοπικά σταθερού δεματίου $\underset{\_}{𝐂}$ στην ευκλείδεια τοπολογία, γεγονός που υποδηλώνει τον ορισμό μιας θεωρίας συνομολογίας Βάιλ σε θετική χαρακτηριστική ως την συνομολογία δεματίων ενός σταθερού δεματίου. Αλλά η μόνη κλασική τοπολογία σε μια τέτοια ποικιλία είναι η τοπολογία Ζαρίσκι, και η τοπολογία Ζαρίσκι έχει πολύ λίγα ανοικτά σύνολα, τόσο λίγα ώστε η συνομολογία οποιουδήποτε σταθερού δεματίου Ζαρίσκι σε μια μη αναγώγιμη ποικιλία εξανεμίζεται (εκτός από το βαθμό μηδέν). Ο Αλεξάντερ Γκρότεντικ έλυσε αυτό το πρόβλημα εισάγοντας τις τοπολογίες Γκρότεντικ, οι οποίες αξιωματοποιούν την έννοια της κάλυψης. Η διορατικότητα του Γκρότεντικ ήταν ότι ο ορισμός ενός δεματίου εξαρτάται μόνο από τα ανοικτά σύνολα ενός τοπολογικού χώρου, όχι από τα μεμονωμένα σημεία. Μόλις αξιωματοποίησε την έννοια της κάλυψης, τα ανοιχτά σύνολα μπορούσαν να αντικατασταθούν από άλλα αντικείμενα. Ένα πρίσμα παίρνει κάθε ένα από αυτά τα αντικείμενα σε δεδομένα, όπως ακριβώς και πριν, και ένα δεμάτιο είναι ένα πρίσμα που ικανοποιεί το αξίωμα της συγκόλλησης σε σχέση με τη νέα μας έννοια της κάλυψης. Αυτό επέτρεψε στον Γκρότεντικ να ορίσει την étale συνομολογία και την ℓ-adic συνομολογία, οι οποίες τελικά χρησιμοποιήθηκαν για την απόδειξη των εικασιών του Βάιλ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Αντίστροφη συνάρτηση
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Γεωμετρική τοπολογία
• Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
• Θεώρημα Αλπερίν–Μπράουερ–Γκορενστείν
• Ευκλείδειος χώρος
• Ντάνιελ Γκόρενσταϊν
• Θεωρία ομάδων
• Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
• Τοπολογικός χώρος
• Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Δισδιάστατος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation (oriented towards conventional topological applications)
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation (advanced techniques such as the derived category and vanishing cycles on the most reasonable spaces)
• Πρότυπο:Citation (category theory and toposes emphasised)
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation (concise lecture notes)
• Πρότυπο:Citation (pedagogic treatment)
• Πρότυπο:Cite book (introductory book with open access)

Πηγές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation