Γινόμενο Κωσύ

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη μαθηματική ανάλυση, το γινόμενο Κωσύ^[1] είναι η διακριτή συνέλιξη δύο άπειρων σειρών. Πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ.

Ορισμοί

Το γινόμενο Κωσύ μπορεί να εφαρμοστεί σε άπειρες σειρές^[2]^[3] ή δυναμοσειρές^[4]^[5].Όταν εφαρμόζεται σε πεπερασμένες ακολουθίες^[6] ή πεπερασμένες σειρές, αυτό μπορεί να θεωρηθεί απλώς ως μια ειδική περίπτωση ενός γινομένου σειρών με πεπερασμένο αριθμό μη μηδενικών συντελεστών (βλ. διακριτή συνέλιξη).

Τα ζητήματα σύγκλισης εξετάζονται στην επόμενη ενότητα.

Γινόμενο Κωσύ δύο άπειρων σειρών

Έστω $\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}$ και $\sum_{j = 0}^{\infty} b_{j}$ δύο άπειρες σειρές με σύνθετους όρους. Το γινόμενο Κωσύ αυτών των δύο άπειρων σειρών ορίζεται από μια διακριτή συνέλιξη ως εξής:

(\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i}) \cdot (\sum_{j = 0}^{\infty} b_{j}) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k}

όπου

c_{k} = \sum_{l = 0}^{k} a_{l} b_{k - l}

.

Γινόμενο Κωσύ δύο δυναμοσειρών

Θεωρήστε τις ακόλουθες δύο δυναμοσειρές

\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i}

και

\sum_{j = 0}^{\infty} b_{j} x^{j}

με μιγαδικούς συντελεστές ${a_{i}}$ και ${b_{j}}$ . Το γινόμενο Κωσύ αυτών των δύο δυναμοσειρών ορίζεται από μια διακριτή συνέλιξη ως εξής:

(\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i}) \cdot (\sum_{j = 0}^{\infty} b_{j} x^{j}) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} x^{k}

όπου

c_{k} = \sum_{l = 0}^{k} a_{l} b_{k - l}

.

Σύγκλιση και θεώρημα Μέρτενς

Έστω Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math πραγματικές ή μιγαδικές ακολουθίες.^[7] αποδείχθηκε από τον Φραντς Μέρτενς ότι, αν οι σειρές $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ συγκλίνουν στο Πρότυπο:Math και $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ συγκλίνουν στο Πρότυπο:Math, και τουλάχιστον μία από αυτές συγκλίνει απόλυτα, τότε το γινόμενο Κωσύ τους συγκλίνει στο Πρότυπο:Math.^[8] Το θεώρημα εξακολουθεί να ισχύει σε μια άλγεβρα Μπάναχ (βλέπε πρώτη γραμμή της ακόλουθης απόδειξης).

Δεν αρκεί και οι δύο σειρές να είναι συγκλίνουσες- αν και οι δύο σειρές είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσες, το γινόμενο Κωσύ δεν χρειάζεται να συγκλίνει προς το γινόμενο των δύο σειρών, όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγμα:

Παράδειγμα

Εξετάστε τις δύο εναλλασσόμενες σειρές με

$a_{n} = b_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n + 1}},$

οι οποίες συγκλίνουν μόνο υπό όρους (η απόκλιση της σειράς των απόλυτων τιμών προκύπτει από το τεστ άμεσης σύγκρισης και την απόκλιση της αρμονικής σειράς). Οι όροι του γινομένου Κωσύ τους δίνονται ως εξής

$c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{\sqrt{k + 1}} \cdot \frac{(- 1)^{n - k}}{\sqrt{n - k + 1}} = (- 1)^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}}$

για κάθε ακέραιο Πρότυπο:Math. Αφού για κάθε Πρότυπο:Math έχουμε τις ανισότητες Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, προκύπτει για την τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή ότι Πρότυπο:Math, επομένως, επειδή υπάρχουν Πρότυπο:Math αθροίσματα,

$| c_{n} | \geq \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{n + 1} = 1$

για κάθε ακέραιο Πρότυπο:Math. Επομένως, το Πρότυπο:Math δεν συγκλίνει στο μηδέν καθώς Πρότυπο:Math επομένως η σειρά του Πρότυπο:Math αποκλίνει με τον όρο test.

Απόδειξη του θεωρήματος Μέρτενς

Για απλοποίηση, θα το αποδείξουμε για μιγαδικούς αριθμούς. Ωστόσο, η απόδειξη που πρόκειται να δώσουμε είναι τυπικά πανομοιότυπη για μια αυθαίρετη άλγεβρα Μπάναχ (δεν απαιτείται καν αντιμεταθετικότητα ή συσχετιστικότητα).

Υποθέστε χωρίς απώλεια γενικότητας ότι η σειρά $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ συγκλίνει απόλυτα. Ορίζουμε τα μερικά αθροίσματα

$A_{n} = \sum_{i = 0}^{n} a_{i}, B_{n} = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} and C_{n} = \sum_{i = 0}^{n} c_{i}$

με $c_{i} = \sum_{k = 0}^{i} a_{k} b_{i - k} .$

τότε

$C_{n} = \sum_{i = 0}^{n} a_{n - i} B_{i}$

με αναδιάταξη, επομένως

Πρότυπο:NumBlk

Δεδομένου Πρότυπο:Math. ότι το $\sum_{k \in ℕ} | a_{k} | < \infty$ συγκλίνει απόλυτα και ότι το Πρότυπο:Math συγκλίνει στο Πρότυπο:Math καθώς το Πρότυπο:Math υπάρχει ένας ακέραιος Πρότυπο:Math τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους Πρότυπο:Math,

Πρότυπο:NumBlk

(αυτό είναι το μόνο σημείο όπου χρησιμοποιείται η απόλυτη σύγκλιση). Εφόσον η σειρά του Πρότυπο:Math συγκλίνει, το μεμονωμένο Πρότυπο:Math πρέπει να συγκλίνει στο 0 με τον έλεγχο του όρου. Συνεπώς, υπάρχει ένας ακέραιος M τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους Πρότυπο:Math,

Πρότυπο:NumBlk

Επίσης, δεδομένου ότι η Πρότυπο:Math συγκλίνει στην Πρότυπο:Math καθώς Πρότυπο:Math, υπάρχει ένας ακέραιος Πρότυπο:Math τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους Πρότυπο:Math,

Πρότυπο:NumBlk

Στη συνέχεια, για όλους τους ακέραιους Πρότυπο:Math, χρησιμοποιήστε την αναπαράσταση (Πρότυπο:EquationNote) για Πρότυπο:Math, χωρίστε το άθροισμα σε δύο μέρη, χρησιμοποιήστε την τριγωνική ανισότητα για την απόλυτη τιμή, και τέλος χρησιμοποιήστε τις τρεις εκτιμήσεις (Πρότυπο:EquationNote), (Πρότυπο:EquationNote) και (Πρότυπο:EquationNote) για να δείξετε ότι

$\begin{matrix} | C_{n} - A B | & = | (A_{n} - A) B + \sum_{i = 0}^{n} a_{n - i} (B_{i} - B) | \\ \leq \underset{\leq ε / 3 by (4)}{\underset{⏟}{| A_{n} - A | | B |}} + \sum_{i = 0}^{N - 1} \underset{\leq ε / 3 by (3)}{\underset{⏟}{| a_{\underset{\geq M}{\underset{⏟}{n - i}}} | | B_{i} - B |}} + \underset{\leq ε / 3 by (2)}{\underset{⏟}{\sum_{i = N}^{n} | a_{n - i} | | B_{i} - B |}} \leq ε . \end{matrix}$

Σύμφωνα με τον ορισμό της συγκλίνουσας σειράς, Πρότυπο:Math όπως απαιτείται.

Θεώρημα του Σεζάρο

Σε περιπτώσεις όπου οι δύο ακολουθίες είναι συγκλίνουσες αλλά όχι απόλυτα συγκλίνουσες, το γινόμενο Κωσύ εξακολουθεί να είναι αθροιστικό του Σεζάρο^[9]: Ειδικότερα:

Αν $(a_{n})_{n \geq 0}$ , $(b_{n})_{n \geq 0}$ είναι πραγματικές ακολουθίες με $\sum a_{n} \to A$ and $\sum b_{n} \to B$ τότε

$\frac{1}{N} (\sum_{n = 1}^{N} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 0}^{i} a_{k} b_{i - k}) \to A B .$

Αυτό μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση που οι δύο ακολουθίες δεν είναι συγκλίνουσες αλλά απλώς αθροιστικές του Σεζάρο:

Θεώρημα

Για $r > - 1$ και $s > - 1$ , ας υποθέσουμε ότι η ακολουθία $(a_{n})_{n \geq 0}$ είναι $(C, r)$ αθροιζόμενη με άθροισμα A και $(a_{n})_{n \geq 0}$ είναι $(C, s)$ αθροιζόμενη με άθροισμα B. Τότε το γινόμενό τους Κωσύ είναι $(C, r + s + 1)$ αθροιζόμενο με άθροισμα AB.

Παραδείγματα

Για ορισμένα $x, y \in ℝ$ , let $a_{n} = x^{n} / n!$ και $b_{n} = y^{n} / n!$ . Τότε

$c_{n} = \sum_{i = 0}^{n} \frac{x^{i}}{i!} \frac{y^{n - i}}{(n - i)!} = \frac{1}{n!} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) x^{i} y^{n - i} = \frac{(x + y)^{n}}{n!}$ από τον ορισμό και τον διωνυμικό τύπο. Δεδομένου ότι, τυπικά $\exp (x) = \sum a_{n}$ και $\exp (y) = \sum b_{n}$ δείξαμε ότι $\exp (x + y) = \sum c_{n}$ . Δεδομένου ότι το όριο του γινομένου Κωσύ δύο απολύτως συγκλίνουσας σειράς είναι ίσο με το γινόμενο των ορίων αυτών των σειρών, έχουμε αποδείξει τον τύπο $\exp (x + y) = \exp (x) \exp (y)$ for all $x, y \in ℝ$ .

Ως δεύτερο παράδειγμα, έστω $a_{n} = b_{n} = 1$ για όλα τα $n \in ℕ$ . Τότε $c_{n} = n + 1$ για όλα τα $n \in ℕ$ οπότε το γινόμενο Κωσύ $\sum c_{n} = (1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, \dots)$ δεν συγκλίνει.

Γενικεύσεις

Όλα τα παραπάνω ισχύουν για ακολουθίες στο $ℂ$ (μιγαδικοί αριθμοί). Το γινόμενο Κωσύ μπορεί να οριστεί για σειρές στους χώρους $ℝ^{n}$ (Ευκλείδειοι χώροι) όπου ο πολλαπλασιασμός είναι το εσωτερικό γινόμενο. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε το αποτέλεσμα ότι αν δύο σειρές συγκλίνουν απόλυτα, τότε το γινόμενο Κωσύ τους συγκλίνει απόλυτα στο εσωτερικό γινόμενο των ορίων.

Γινόµενο πεπερασµένου αριθµού άπειρων σειρών

Έστω $n \in ℕ$ τέτοιο ώστε $n \geq 2$ (στην πραγματικότητα τα παρακάτω ισχύουν και για $n = 1$ αλλά η δήλωση γίνεται τετριμμένη σε αυτή την περίπτωση) και έστω $\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} a_{1, k_{1}}, \dots, \sum_{k_{n} = 0}^{\infty} a_{n, k_{n}}$ άπειρες σειρές με μιγαδικούς συντελεστές, από τις οποίες όλες εκτός από την $n$ th συγκλίνουν απόλυτα, και η $n$ th συγκλίνει. Τότε το όριο

$\lim_{N \to \infty} \sum_{k_{1} + \dots + k_{n} \leq N} a_{1, k_{1}} \dots a_{n, k_{n}}$

υπάρχει και έχουμε:

$\prod_{j = 1}^{n} (\sum_{k_{j} = 0}^{\infty} a_{j, k_{j}}) = \lim_{N \to \infty} \sum_{k_{1} + \dots + k_{n} \leq N} a_{1, k_{1}} \dots a_{n, k_{n}}$

Απόδειξη

Επειδή

$\forall N \in ℕ : \sum_{k_{1} + \dots + k_{n} \leq N} a_{1, k_{1}} \dots a_{n, k_{n}} = \sum_{k_{1} = 0}^{N} \sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} \dots \sum_{k_{n} = 0}^{k_{n - 1}} a_{1, k_{n}} a_{2, k_{n - 1} - k_{n}} \dots a_{n, k_{1} - k_{2}}$

η δήλωση μπορεί να αποδειχθεί με επαγωγή επί του $n$ : Η περίπτωση για $n = 2$ είναι πανομοιότυπη με τον ισχυρισμό για το γινόμενο Κωσύ. Αυτή είναι η επαγωγική μας βάση.

Το βήμα επαγωγής έχει ως εξής: Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για ένα $n \in ℕ$ τέτοιο ώστε $n \geq 2$ , και έστω $\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} a_{1, k_{1}}, \dots, \sum_{k_{n + 1} = 0}^{\infty} a_{n + 1, k_{n + 1}}$ να είναι άπειρες σειρές με μιγαδικούς συντελεστές, από τις οποίες όλες εκτός από την $n + 1$ -th συγκλίνουν απόλυτα και η $n + 1$ -οστή συγκλίνει. Εφαρμόζουμε πρώτα την υπόθεση επαγωγής στη σειρά $\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} | a_{1, k_{1}} |, \dots, \sum_{k_{n} = 0}^{\infty} | a_{n, k_{n}} |$ . Λαμβάνουμε ότι η σειρά

$\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} \dots \sum_{k_{n} = 0}^{k_{n - 1}} | a_{1, k_{n}} a_{2, k_{n - 1} - k_{n}} \dots a_{n, k_{1} - k_{2}} |$

συγκλίνει, και επομένως, σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα και το κριτήριο του σάντουιτς, η σειρά

$\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} | \sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} \dots \sum_{k_{n} = 0}^{k_{n - 1}} a_{1, k_{n}} a_{2, k_{n - 1} - k_{n}} \dots a_{n, k_{1} - k_{2}} |$

συγκλίνει, και ως εκ τούτου η σειρά

$\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} \dots \sum_{k_{n} = 0}^{k_{n - 1}} a_{1, k_{n}} a_{2, k_{n - 1} - k_{n}} \dots a_{n, k_{1} - k_{2}}$

συγκλίνει απόλυτα. Επομένως, με την υπόθεση της επαγωγής, με αυτό που απέδειξε ο Mertens και με τη μετονομασία των μεταβλητών, έχουμε:

$\begin{matrix} \prod_{j = 1}^{n + 1} (\sum_{k_{j} = 0}^{\infty} a_{j, k_{j}}) & = (\sum_{k_{n + 1} = 0}^{\infty} \overset{= : a_{k_{n + 1}}}{\overset{⏞}{a_{n + 1, k_{n + 1}}}}) (\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \overset{= : b_{k_{1}}}{\overset{⏞}{\sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} \dots \sum_{k_{n} = 0}^{k_{n - 1}} a_{1, k_{n}} a_{2, k_{n - 1} - k_{n}} \dots a_{n, k_{1} - k_{2}}}}) \\ = (\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \overset{= : a_{k_{1}}}{\overset{⏞}{\sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} \sum_{k_{3} = 0}^{k_{2}} \dots \sum_{k_{n} = 0}^{k_{n - 1}} a_{1, k_{n}} a_{2, k_{n - 1} - k_{n}} \dots a_{n, k_{1} - k_{2}}}}) (\sum_{k_{n + 1} = 0}^{\infty} \overset{= : b_{k_{n + 1}}}{\overset{⏞}{a_{n + 1, k_{n + 1}}}}) \\ = (\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \overset{= : a_{k_{1}}}{\overset{⏞}{\sum_{k_{3} = 0}^{k_{1}} \sum_{k_{4} = 0}^{k_{3}} \dots \sum_{k_{n} + 1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n + 1}} a_{2, k_{n} - k_{n + 1}} \dots a_{n, k_{1} - k_{3}}}}) (\sum_{k_{2} = 0}^{\infty} \overset{= : b_{n + 1, k_{2}} = : b_{k_{2}}}{\overset{⏞}{a_{n + 1, k_{2}}}}) \\ = (\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} a_{k_{1}}) (\sum_{k_{2} = 0}^{\infty} b_{k_{2}}) \\ = (\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} a_{k_{2}} b_{k_{1} - k_{2}}) \\ = (\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} (\overset{= : a_{k_{2}}}{\overset{⏞}{\sum_{k_{3} = 0}^{k_{2}} \dots \sum_{k_{n} + 1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n + 1}} a_{2, k_{n} - k_{n + 1}} \dots a_{n, k_{2} - k_{3}}}}) (\overset{= : b_{k_{1} - k_{2}}}{\overset{⏞}{a_{n + 1, k_{1} - k_{2}}}})) \\ = (\sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} \overset{= : a_{k_{2}}}{\overset{⏞}{\sum_{k_{3} = 0}^{k_{2}} \dots \sum_{k_{n} + 1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n + 1}} a_{2, k_{n} - k_{n + 1}} \dots a_{n, k_{2} - k_{3}}}} \overset{= : b_{k_{1} - k_{2}}}{\overset{⏞}{a_{n + 1, k_{1} - k_{2}}}}) \\ = \sum_{k_{1} = 0}^{\infty} \sum_{k_{2} = 0}^{k_{1}} a_{n + 1, k_{1} - k_{2}} \sum_{k_{3} = 0}^{k_{2}} \dots \sum_{k_{n + 1} = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n + 1}} a_{2, k_{n} - k_{n + 1}} \dots a_{n, k_{2} - k_{3}} \end{matrix}$

Επομένως, ο τύπος ισχύει και για το $n + 1$ .

Σχέση με τη συνέλιξη συναρτήσεων

Μια πεπερασμένη ακολουθία μπορεί να θεωρηθεί ως μια άπειρη ακολουθία με μόνο πεπερασμένους μη μηδενικούς όρους, ή με άλλα λόγια ως μια συνάρτηση $f : ℕ \to ℂ$ με πεπερασμένη υποστήριξη. Για οποιεσδήποτε μιγαδικής αξίας συναρτήσεις f, g στο $ℕ$ με πεπερασμένη υποστήριξη, μπορούμε να πάρουμε τη συνέλιξή τους:

$(f * g) (n) = \sum_{i + j = n} f (i) g (j) .$

Τότε $\sum (f * g) (n)$ είναι το ίδιο πράγμα με το γινόμενο Κωσύ του $\sum f (n)$ και $\sum g (n)$ .

Γενικότερα, δεδομένου ενός μονοειδούς S, μπορεί κανείς να σχηματίσει την άλγεβρα ημι-ομάδων $ℂ [S]$ του S, με τον πολλαπλασιασμό να δίνεται από τη συνέλιξη. Αν πάρουμε, επί παραδείγματι, $S = ℕ^{d}$ , τότε ο πολλαπλασιασμός στο $ℂ [S]$ είναι μια γενίκευση του γινομένου Κωσύ σε υψηλότερη διάσταση.