Τριγωνική ανισότητα

Πρότυπο:Πηγές Η τριγωνική ανισότητα στα μαθηματικά είναι μία έκφραση του ότι «μεταξύ δύο σημείων, συντομωτέρα οδός η ευθεία». Συγκεκριμένα εκφράζει ότι σε ένα τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, καθώς και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους. Αλγεβρικά, η τριγωνική ανισότητα εκφράζεται ως το καρτεσιανό γινόμενο των συντεταγμένων των κορυφών ενός τριγώνου στο επίπεδο.

Στη μαθηματική ανάλυση

Ας είναι x και y δύο πραγματικοί αριθμοί. Η τριγωνική ανισότητα γράφεται

$||x|-|y||\le |x+y|\le |x|+|y|$

όπου με |x| συμβολίζουμε την απόλυτη τιμή του αριθμού x.

Γενικότερα, σε έναν μετρικό χώρο (X,d) η τριγωνική ανισότητα λαβαίνεται ως αξίωμα:

$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$

και σε έναν νορμικό χώρο (V,||.||):

$||x+y||\le ||x||+||y||$

για οποιαδήποτε διανύσματα x,y του V.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία

Τριγωνική ανισότητα

• Τριγωνική ανισότητα: Κάθε πλευρά σε τρίγωνο είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους.

Απόδειξη: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με β > γ. Προεκτείνουμε την γ προς το Α και παίρνουμε ΑΔ = β. Το τρίγωνο ΑΓΔ δηλαδή είναι ισοσκελές, άρα Δ = ΑΓΔ < ΒΓΔ και έτσι α < β + γ.

Με κυκλική εναλλαγή προκύπτει επίσης ότι β < γ + α και γ < α + β.

Εφόσον τώρα είναι β > γ, από το ότι β < γ + α παίρνουμε β - γ < α. Αποδείξαμε τελικά ότι ισχύει

|β - γ| < α < β + γ

• Η τριγωνική ανισότητα είναι στην πραγματικότητα ένα κριτήριο τριγώνων, υπό την έννοια ότι αν δίνονται τρία μήκη α, β και γ, αυτά θα είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα.

Πολυγωνική ανισότητα

• Πολυγωνική ανισότητα: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία είναι μικρότερο από κάθε τεθλασμένη που ενώνει τα σημεία αυτά.

Απόδειξη: Ας είναι ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα και ΑΣ₁Σ₂Σ₃…Σ_ν-1Σ_νΒ μία τεθλασμένη. Φέρνουμε όλες τις διαγωνίους από το Β. Από τις τριγωνικές ανισότητες στα τρίγωνα που σχηματίζονται παίρνουμε διαδοχικά:

$\mathrm{A}\mathrm{B}<\mathrm{A}{\mathrm{\Sigma }}_1+{\mathrm{\Sigma }}_1\mathrm{B}$

$\mathrm{A}\mathrm{B}<\mathrm{A}{\mathrm{\Sigma }}_1+{\mathrm{\Sigma }}_1{\mathrm{\Sigma }}_2+{\mathrm{\Sigma }}_2\mathrm{B}$

$⋮$

$\mathrm{A}\mathrm{B}<\mathrm{A}{\mathrm{\Sigma }}_1+{\mathrm{\Sigma }}_1{\mathrm{\Sigma }}_2+\cdots +{\mathrm{\Sigma }}_{\nu -1}{\mathrm{\Sigma }}_{\nu }+\mathrm{\Sigma }\mathrm{B}$

Δείτε επίσης

• Τρίγωνο
• Αρχή του ελαχίστου χρόνου

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση