Κύβος (άλγεβρα)

Πρότυπο:Multiple image Στα μαθηματικά κύβος ενός αριθμού π.χ. $\alpha$, ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού αυτού, δηλαδή $\alpha \times \alpha \times \alpha$. Η ονομασία "κύβος" ή "κύβος αριθμού" λήφθηκε από το γεγονός ότι η τρίτη δύναμη ενός αριθμού παριστά και τον όγκο του κύβου που έχει ακμή (πλευρά) τον αριθμό αυτό.

Οι θετικοί κύβοι ή τέλειοι κύβοι μέχρι το 60³ είναι (OEIS:A000578):

13 = 1	113 = 1331	213 = 9261	313 = 29,791	413 = 68,921	513 = 132,651
23 = 8	123 = 1728	223 = 10,648	323 = 32,768	423 = 74,088	523 = 140,608
33 = 27	133 = 2197	233 = 12,167	333 = 35,937	433 = 79,507	533 = 148,877
43 = 64	143 = 2744	243 = 13,824	343 = 39,304	443 = 85,184	543 = 157,464
53 = 125	153 = 3375	253 = 15,625	353 = 42,875	453 = 91,125	553 = 166,375
63 = 216	163 = 4096	263 = 17,576	363 = 46,656	463 = 97,336	563 = 175,616
73 = 343	173 = 4913	273 = 19,683	373 = 50,653	473 = 103,823	573 = 185,193
83 = 512	183 = 5832	283 = 21,952	383 = 54,872	483 = 110,592	583 = 195,112
93 = 729	193 = 6859	293 = 24,389	393 = 59,319	493 = 117,649	593 = 205,379
103 = 1000	203 = 8000	303 = 27,000	403 = 64,000	503 = 125,000	603 = 216,000

Σε γεωμετρικούς όρους, ένας θετικός αριθμός Πρότυπο:Mvar είναι τέλειος κύβος αν και μόνο αν είναι δυνατόν να διαταχθούν Πρότυπο:Mvar κύβοι (ενν. στερεά) με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο κύβο. Για παράδειγμα 27 μικροί κύβοι μπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο (συγκεκριμένα με την μορφή ενός κύβου του Ρούμπικ), διότι 3 x 3 x 3 = 3³ = 27.

Η διαφορά κύβων ανάμεσα σε διαδοχικούς ακεραίους μπορεί να εκφραστεί ως:

Πρότυπο:Math.

ή

Πρότυπο:Math.

Δεν υπάρχει ελάχιστος τέλειος κύβος διότι ο αρνητικός ακέραιος υψωμένος στην τρίτη είναι αρνητικός. Για παράδειγμα, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Στους ακεραίους

Το πρόβλημα του Waring για κύβους

Πρότυπο:Κύριο Κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα το πολύ εννέα θετικών κύβων. Το άνω φράγμα των εννέα κύβων δεν μπορεί να ελαττωθεί διότι, παραδείγματος χάριν, το 23 δεν είναι δυνατό να γραφεί ως άθροισμα λιγότερων από εννέα κύβων:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για κύβους

Η εξίσωση Πρότυπο:Math δεν έχει λύσεις πέραν της τετριμένης (δηλ για Πρότυπο:Math) στο σύνολο των ακεραίων. Για την ακρίβεια δεν έχει λύσεις στους ακεραίους Euler.

Τα παραπάνω ισχύουν επίσης για την εξίσωση: Πρότυπο:Math.

Άθροισμα των πρώτων n κύβων

Το άθροισμα των πρώτων Πρότυπο:Mvar κύβων είναι ο Πρότυπο:Mvarστος τριγωνικός αριθμός στο τετράγωνο:

$1^3+2^3+\dots +n^3=(1+2+\dots +n{)}^2={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2.$

Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων πέντε κύβων είναι το τετράγωνο του 5ου τριγωνικού αριθμό:

$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2$

Παρόμοιο αποτέλεσμα δίδει και το άθροισμα των πρώτων Πρότυπο:Mvar περιττών κύβων,

$1^3+3^3+\dots +(2y-1{)}^3=(xy{)}^2$

όμως τα Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης $x^2-2y^2=-1$.

Παραδείγματα:

Για Πρότυπο:Math έχουμε:

$1^3+3^3+\dots +9^3=(7\cdot 5{)}^2$

και για Πρότυπο:Math,

$1^3+3^3+\dots +57^3=(41\cdot 29{)}^2$

Κάθε άρτιος τέλειος αριθμός, εκτός από τον πρώτο, επίσης είναι άθροισμα των πρώτων [[power of two|Πρότυπο:Math]] περιττών κύβων:

$28=2^2(2^3-1)=1^3+3^3$

Άθροισμα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο

Υπάρχουν παραδείγματα κύβων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο, το άθροισμα των οποίων είναι κύβος:

$3^3+4^3+5^3=6^3$

$11^3+12^3+13^3+14^3=20^3$

$31^3+33^3+35^3+37^3+39^3+41^3=66^3$

Οι κύβοι ως αθροίσματα διαδοχικών περιττών ακεραίων

Στην ακολουθία περιττών ακεραίων 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., το 1 είναι κύβος (1 = 1³), το άθροισμα των επόμενων δύο αριθμών είναι ο επόμενος κύβος (3+5 = 2³), το άθροισμα των επόμενων τριών είναι αμέσως επόμενος κύβος (7+9+11 = 3³) και ούτω καθεξής.

Στους ρητούς

Κάθε θετικός ρητός αριθμός είναι άθροισμα τριών θετικών ρητών κύβων, ενώ υπάρχουν ρητοί που δεν είναι άθροισμα δύο ρητών κύβων.

Στους πραγματικούς αριθμούς

Γραφική παράσταση της f(x) = x³ στο καρτεσιανό επίπεδο

Η συνάρτηση f(x) = x³ είναι γνησίως αύξουσα και έχει πεδίο ορισμού καθώς και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η πρώτη παράγωγός της είναι Πρότυπο:Math.

Άθροισμα και διαφορά δύο κύβων

Πρότυπο:Κύριο Το άθροισμα δύο κύβων μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως

$x^3+y^3=(x+y)\cdot (x^2-xy+y^2)$,

και η διαφορά τους ως

$x^3-y^3=(x-y)\cdot (x^2+xy+y^2)$.

Ιστορικό

Πολλοί αρχαίοι πολιτισμοί ασχολήθηκαν με την εύρεση των κύβων μεγάλων αριθμών. Μαθηματικοί της αρχαίας Μεσοποταμίας είχαν πίνακες για των υπολογισμό κύβων και κυβικών ριζών ήδη από την Πρώτη Βαβυλωνιακή Δυναστεία (20ος - 16ος αιώνας π.Χ) ενώ ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος ασχολήθηκε με την επίλυση κυβικών εξισώσεων. Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ανέπτυξε μέθοδο εύρεσης των κυβικών ριζών.

Μέθοδοι επιλύσεως κυβικών εξισώσεων αναφέρονται στο έργο Τα Εννέα Κεφάλαια της Μαθηματικής Τέχνης, ένα κινεζικό εγχειρίδιο μαθηματικών του 2ου αιώνα π.Χ., το οποίο σώζεται με τον σχολιασμό του Liu Hui από τον 3ο αιώνα μ.Χ. Ο Ινδός μαθηματικός Aryabhata έγραψε ερμηνεία των κύβων στο έργο του Aryabhatiya. Το 2010 ο Alberto Zanoni ανέπτυξε νέο ταχύτερο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του κύβου ενός μεγάλου ακεραίου σε καθορισμένο εύρος.new algorithm

Παραπομπές

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση