Δειγματοχώρος

Στην θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, δειγματοχώρος (ή δειγματικός χώρος, ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος, δηλαδή το σύνολο όλων των απλών γεγονότων του, και συνήθως συμβολίζεται με $\mathrm{\Omega }$.

Για παράδειγμα, στο πείραμα της ρίψης ενός κέρματος, όπου συμβολίζουμε με $\mathrm{K}$ την περίπτωση να εμφανιστεί κεφαλή και με $\mathrm{\Gamma }$ την περίπτωση να εμφανιστεί γράμματα, ο δειγματικός χώρος είναι $\mathrm{\Omega }=\{\mathrm{K},\mathrm{\Gamma }\}$.

Όταν ρίχνουμε δύο νομίσματα έχουμε τέσσερα γεγονότα ανάλογα με το τι εμφανίστηκε σε κάθε μία από τις ρίψεις. Γράφοντας πρώτα την ένδειξη που φέρνει η μία και την ένδειξη που φέρνει η άλλη, υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις: $\mathrm{K}\mathrm{K},\mathrm{K}\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Gamma }\mathrm{K},\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Gamma }$. Άρα, ο δειγματοχώρος είναι: $\mathrm{\Omega }=\{\mathrm{K}\mathrm{K},\mathrm{K}\mathrm{\Gamma },\mathrm{\Gamma }\mathrm{K},\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Gamma }\}$.

Μετά τον καθορισμό του δειγματοχώρου σε ένα πείραμα τύχης, κάθε γεγονός που σχετίζεται με το πείραμα αυτό μπορεί να παρασταθεί ως υποσύνολο του δειγματοχώρου. Για κάθε γεγονός $\mathrm{A}$ ισχύει $\mathrm{A}\subseteq \mathrm{\Omega }$. Ο ίδιος ο δειγματοχώρος θεωρείται ότι είναι γεγονός, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντα αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει πάντα στο $\mathrm{\Omega }$. Το γεγονός $\mathrm{\Omega }$ λέγεται βέβαιο γεγονός.

Αριθμήσιμος και μη αριθμήσιμος

Αν το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο, τότε το $\mathrm{\Omega }$ είναι πεπερασμένο σύνολο και ο δειγματοχώρος λέγεται επίσης πεπερασμένος. Σε κάθε άλλη περίπτωση αναφερόμαστε σε χώρους άπειρα αριθμήσιμους που διακρίνονται σε αριθμήσιμους και μη αριθμήσιμους δειγματοχώρους.

Όταν ένας δειγματοχώρος είναι πεπερασμένος ή αριθμήσιμος, ονομάζεται απαριθμήσιμος, ή διακριτός. Αν με ${\omega }_i,i=1,2,\dots$ συμβολίσουμε τα απλά ενδεχόμενα του πειράματος τότε $\mathrm{\Omega }=\{{\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n,\dots \}$. Όταν είναι μη αριθμήσιμος, τότε ονομάζεται συνεχής.

Παραδείγματα

• Στην ρίψη δύο ζαριών, ο δειγματοχώρος των ενδείξεων είναι πεπερασμένος και ίσος με

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Omega }=\{& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & ⋮\\ & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}.\end{array}$

• Στην ρίψη δύο ζαριών, ο δειγματοχώρος του αθροίσματος των δύο χαριών είναι πεπερασμένος και ίσος με

$\mathrm{\Omega }=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.$

• Αν ρίχνουμε ένα ζάρι μέχρι το αποτέλεσμα να είναι $6$, τότε ο δειγματοχώρος τον αριθμό των ρίψεων που χρειάζονται είναι

$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,\dots \}={\mathbb{N}}_{+}$,

και είναι μη-πεπερασμένος αλλά αριθμήσιμος.

• Αν ρίξουμε ένα βότσαλο σε μία πισίνα διαστάσεων $m\times n$, τότε ο δειγματικός χώρος της θέσης που θα πέσει είναι $[0,m]\times [0,n]$ και είναι μη-αριθμήσιμος και συνεχής.

Δείτε επίσης

• Πιθανότητα
• Γεγονός (Θεωρία Πιθανοτήτων)