Σπείρα του Αρχιμήδη

Η Σπείρα του Αρχιμήδη.

Η Σπείρα του Αρχιμήδη(παραμετρική).

Η Σπείρα του Αρχιμήδη είναι η σπειροειδής καμπύλη της οποίας χαρακτηριστικό είναι ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων παραμένει σταθερή. Ονομάζεται και επίπεδη έλικα.

Τα σημεία της καμπύλης παράγονται από ένα σημείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια ευθεία η οποία περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

Ο μαθηματικός τύπος, σε πολικές συντεταγμένες, που δίνει την καμπύλη αυτή είναι: $r=\alpha +\beta \theta$, όπου $\alpha$ και $\beta$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Αλλαγή στο $\alpha$ περιστρέφει την σπείρα, ενώ το $\beta$ καθορίζει την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων.

Ο Αρχιμήδης μελέτησε με μεγάλη λεπτομέρεια τις ιδιότητες της επίπεδης έλικας στο έργο του «Περί Ελίκων». Κάνοντας χρήση των γεωμτρικών ιδιοτήτων της έλικας αυτής, κατάφερε να κατασκευάσει μία λύση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, παρακάμπτοντας έτσι την "αυστηρή κατασκευή" που απαιτούσε αποκλειστικά την χρηση κανόνα και διαβήτη. Ο Αρχιμήδης θεωρείται από τους πρώτους που περιέγραψε σε αυστηρά μαθηματικό πλάισιο το συγκεκριμένο σχήμα. Αξίζει να σημειωθεί ότι υπάρχουν απεικονίσεις του συγκεκριμένου σχήματος της σπείρας ήδη από τα προϊστορικά χρόνια. Μία τέτοια χαρακτηριστική απεικόνιση αποτελεί η τοιχογραφία με τις πολύχρωμες σπείρες που βρέθηκε στο κτίριο Ξεστή 3, στον προϊστορικό οικισμό του Ακρωτηρίου της Σαντορίνης.

Παραγωγή της γενικής εξίσωσης της σπείρας

Βλέπε επίσης: Κυκλική κίνηση

Παρακάτω χρησιμοποιείται μια φυσική προσέγγιση για την κατανόηση της έννοιας των Αρχιμήδειων σπειρών.

Ας υποθέσουμε ότι ένα σημειακό αντικείμενο κινείται στο καρτεσιανό σύστημα με σταθερή ταχύτητα Πρότυπο:Mvar που κατευθύνεται παράλληλα στον άξονα Πρότυπο:Mvar, ως προς το επίπεδο Πρότυπο:Mvar. Έστω ότι τη χρονική στιγμή Πρότυπο:Math, το αντικείμενο βρισκόταν σε ένα αυθαίρετο σημείο Πρότυπο:Math. Αν το επίπεδο xy περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Πρότυπο:Mvar ως προς τον άξονα Πρότυπο:Mvar, τότε η ταχύτητα του σημείου ως προς τον άξονα Πρότυπο:Mvar μπορεί να γραφεί ως εξής:

το επίπεδο περιστρέφεται κατά γωνία Πρότυπο:Mvar (αριστερόστροφα) γύρω από την αρχή σε χρόνο Πρότυπο:Mvar. Πρότυπο:Math είναι η θέση του αντικειμένου τη στιγμή Πρότυπο:Math. Πρότυπο:Mvar είναι η θέση του αντικειμένου τη χρονική στιγμή Πρότυπο:Mvar, σε απόσταση Πρότυπο:Math.

$\begin{array}{cc}|v_0|& =\sqrt{v^2+{\omega }^2(vt+c{)}^2}\\ v_x& =v\cos \omega t-\omega (vt+c)\sin \omega t\\ v_y& =v\sin \omega t+\omega (vt+c)\cos \omega t\end{array}$

Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, έχουμε Πρότυπο:Math που αντιπροσωπεύει το συντελεστή του διανύσματος θέσης του σωματιδίου σε κάθε χρονική στιγμή Πρότυπο:Mvar, με Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar ως τις συνιστώσες της ταχύτητας κατά μήκος των αξόνων x και y, αντίστοιχα.

$\begin{array}{cc}\int v_{x}dt& =x\\ \int v_{y}dt& =y\end{array}$

Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να ολοκληρωθούν με την εφαρμογή της ολοκλήρωσης κατά μέρη, οδηγώντας στις ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις:

$\begin{array}{cc}x& =(vt+c)\cos \omega t\\ y& =(vt+c)\sin \omega t\end{array}$

Ο τετραγωνισμός των δύο εξισώσεων και στη συνέχεια η πρόσθεση (και κάποιες μικρές τροποποιήσεις) οδηγεί στην καρτεσιανή εξίσωση $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{v}{\omega }\cdot \arctan \frac{y}{x}+c$ (χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math) ή

$\tan ((\sqrt{x^2+y^2}-c)\cdot \frac{\omega }{v})=\frac{y}{x}$

Η πολική του μορφή είναι $r=\frac{v}{\omega }\cdot \theta +c.$

Μήκος τόξου και καμπυλότητα Πρότυπο:Anchor

Κύκλοι της Αρχιμήδειου σπείρας, εφαπτόμενοι στη σπείρα και με την ίδια καμπυλότητα στο σημείο εφαπτομένης. Η ίδια η σπείρα δεν σχεδιάζεται, αλλά μπορεί να γίνει αντιληπτή ως τα σημεία όπου οι κύκλοι είναι ιδιαίτερα κοντά ο ένας στον άλλο.

Δεδομένης της παραμετροποίησης σε καρτεσιανές συντεταγμένες

$f:\theta \mapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta )=(b\theta \cos \theta ,b\theta \sin \theta )$

το μήκος τόξου από Πρότυπο:Math έως Πρότυπο:Math είναι

$\frac{b}{2}{[\theta \sqrt{1+{\theta }^2}+\ln (\theta +\sqrt{1+{\theta }^2})]}_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}$

ή, ισοδύναμα:

$\frac{b}{2}{[\theta \sqrt{1+{\theta }^2}+\mathrm{arsinh}\theta ]}_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}.$

Το συνολικό μήκος από Πρότυπο:Math έως Πρότυπο:Math είναι επομένως

$\frac{b}{2}[\theta \sqrt{1+{\theta }^2}+\ln (\theta +\sqrt{1+{\theta }^2})].$

Η καμπυλότητα δίνεται από τη σχέση

$\kappa =\frac{{\theta }^2+2}{b{({\theta }^2+1)}^{\frac{3}{2}}}$

Μέθοδοι κατασκευής

Η Σπείρα του Αρχιμήδη δεν μπορεί να κατασκευαστεί με ακρίβεια με τις παραδοσιακές μεθόδους με διαβήτη και χάρακα, δεδομένου ότι η αριθμητική σπείρα απαιτεί η ακτίνα της καμπύλης να αυξάνεται συνεχώς καθώς αυξάνεται η γωνία στην αρχή. Ωστόσο, μια αριθμητική σπείρα μπορεί να κατασκευαστεί κατά προσέγγιση, σε διάφορους βαθμούς ακρίβειας, με διάφορες μεθόδους χειροκίνητης σχεδίασης.Μια τέτοια μέθοδος χρησιμοποιεί διαβήτη και χάρακα- μια άλλη μέθοδος χρησιμοποιεί διαβήτη με χορδή.

Η κοινή παραδοσιακή κατασκευή χρησιμοποιεί διαβήτη και χάρακα για την προσέγγιση της αριθμητικής σπείρας. Πρώτα, κατασκευάζεται ένας μεγάλος κύκλος και η περιφέρειά του υποδιαιρείται με 12 διαμέτρους σε 12 τόξα (των 30 μοιρών το καθένα- βλέπε κανονικό δωδεκάγωνο). Στη συνέχεια, η ακτίνα αυτού του κύκλου υποδιαιρείται σε 12 μοναδιαία τμήματα (ακτινικές μονάδες) και κατασκευάζεται μια σειρά ομόκεντρων κύκλων, με ακτίνα αυξημένη κατά μία ακτινική μονάδα. Ξεκινώντας με την οριζόντια διάμετρο και τον εσωτερικότερο ομόκεντρο κύκλο, σημειώνεται το σημείο όπου η ακτίνα του τέμνει την περιφέρειά του- στη συνέχεια μετακινείται κανείς στον επόμενο ομόκεντρο κύκλο και στην επόμενη διάμετρο (ανεβαίνοντας προς τα πάνω για να κατασκευάσει μια αριστερόστροφη σπείρα ή προς τα κάτω για δεξιόστροφη) για να σημειώσει το επόμενο σημείο. Αφού σημειωθούν όλα τα σημεία, τα διαδοχικά σημεία συνδέονται με μια γραμμή που προσεγγίζει την αριθμητική σπείρα (ή με μια ομαλή καμπύλη κάποιου είδους- βλέπε Γαλλική καμπύλη). Ανάλογα με τον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας, η μέθοδος αυτή μπορεί να βελτιωθεί αυξάνοντας το μέγεθος του μεγάλου εξωτερικού κύκλου, κάνοντας περισσότερες υποδιαιρέσεις τόσο της περιφέρειας όσο και της ακτίνας του, αυξάνοντας τον αριθμό των ομόκεντρων κύκλων (βλ. Πολυγωνική σπείρα). Η προσέγγιση της Αρχιμήδειου Σπείρας με αυτή τη μέθοδο θυμίζει βέβαια την περίφημη μέθοδο του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π με διπλασιασμό των πλευρών διαδοχικών πολυγώνων (βλ. Πολυγωνική προσέγγιση του π).

Η κατασκευή με διαβήτη και χάρακα της σπείρας του Θεόδωρου του Κυρηναίου είναι μια άλλη απλή μέθοδος προσέγγισης της Σπείρας του Αρχιμήδη.

Μια μηχανική μέθοδος για την κατασκευή της αριθμητικής σπείρας χρησιμοποιεί ένα τροποποιημένο διαβήτη, όπου η χορδή τυλίγεται (ή ξετυλίγεται) γύρω από μια σταθερή κεντρική καρφίτσα (που δεν περιστρέφεται), αυξάνοντας (ή μειώνοντας) έτσι το μήκος της ακτίνας (χορδής) καθώς αλλάζει η γωνία (η χορδή τυλίγεται γύρω από τη σταθερή καρφίτσα που δεν περιστρέφεται). Μια τέτοια μέθοδος είναι ένας απλός τρόπος για τη δημιουργία μιας αριθμητικής σπείρας, που προκύπτει φυσικά από τη χρήση ενός διαβήτη χορδή με περόνη περιέλιξης (και όχι τον χαλαρό άξονα ενός κοινού διαβήτη με χορδή). Το εργαλείο σχεδίασης του διαβήτη με χορδή έχει διάφορες τροποποιήσεις και σχέδια, και αυτή η μέθοδος κατασκευής θυμίζει μεθόδους που βασίζονται στη χορδή για τη δημιουργία ελλείψεων (με δύο σταθερές καρφίτσες).

Δείτε επίσης

• Σπείρα του Ούλαμ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Η Κινηματική Γεωμετρία και η Σπείρα του Αρχιμήδη Τμήμα Μαθηματικών - Πανεπιστήμιο Αθηνών

Δημοσιεύσεις

• D.D.Sokolov: Archimedean spiral. In Encyclopaedia of Mathematics, Band 1, S. 240
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146
• Janos Aczel, Claudi Alsina: Trisection of Angles, Classical Curves, and Functional Equations. Mathematics Magazine, Vol. 71, No. 3 (Juni 1998), S. 182–189 (Πρότυπο:JSTOR)
• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-29163-0, S. 81-82
• Midhat J. Gazalé: Gnomon: From Pharaohs to Fractals. Princeton University Press, 1999, ISBN 978-0-691-00514-0, S. 168–171
• Martin Gardner: The Unexpected Hanging, and Other Mathematical Diversions. University of Chicago Press, 1969, S. 103–107