Πλήρες διατεταγμένο σώμα

Στα μαθηματικά, ένα διατεταγμένο σώμα ονομάζεται πλήρες αν και μόνο αν ικανοποιεί την ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος.

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος

Θεωρούμε ένα σύνολο $A\subset ℝ$ διάφορο του κενού και άνω φραγμένο. Τότε αυτό διαθέτει κάποιο ελάχιστο άνω φράγμα $S$, ήτοι,

• Υπάρχει $S$ (μοναδικό) ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες:
  • $t\le S$ για κάθε $t\in A$
  • Αν $t\le M$ για κάθε $t\in A$ τότε $S\le M$

Η ιδιότητα του ελάχιστου άνω φράγματος είναι ισοδύναμη με δυο άλλες ιδιότητες,οι οποίες μερικές φορές αναφέρονται ως ο ορισμός της πληρότητας του $ℝ$.

Η ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy

Αν $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ είναι μια πραγματική ακολουθία Κωσύ τότε συγκλίνει.

Η ιδιότητα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων

Αν $(L_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ είναι μια ακολουθία εγκιβωτισμένων κλειστών διαστημάτων (ήτοι, $L_{i+1}\subset L_i$) τα μήκη των οποίων τείνουν στο μηδέν,τότε υπάρχει μοναδικό στοιχείο $x_0$ τέτοιο ώστε $x_0\in L_i$ για κάθε φυσικό αριθμό $i$.

Παρατηρούμε ότι το σύνολο $\mathbb{Q}$ δεν είναι πλήρες. Επί παραδείγματι,ας θεωρήσουμε το σύνολο $S=\{\begin{array}{c}q\in \mathbb{Q}\end{array}:q^2<2\}$. Το $S$ είναι εκ των άνω φραγμένο από το 3 που είναι ρητός,αλλά δεν έχει ελάχιστο άνω φράγμα,γιατί αν είχε,θα έπρεπε να ισούται με το ελάχιστο άνω φράγμα του $ℝ$ δηλαδή τον άρρητο αριθμό $\sqrt{2}$.

Βιβλιογραφία (στα Αγγλικά)

• Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The Fundamental Theorem Of Algebra (1997)