Υπερβολικές συναρτήσεις

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh, cosh και tanh

Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch, sech και coth

Στα μαθηματικά, οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.

Αλγεβρικές εκφράσεις

• Υπερβολικό ημίτονο

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-i\sin ix$

• Υπερβολικό συνημίτονο

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cos ix$

• Υπερβολική εφαπτομένη

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-i\tan ix$

• Υπερβολική συνεφαπτομένη

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=i\cot ix$

• Υπερβολική τέμνουσα

$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\sec ix$

• υπερβολική συντέμνουσα

$\mathrm{cosech}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=i\csc ix$

Όπου $i$ είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως $i^2=-1$.

Χρήσιμες σχέσεις

$\sinh (-x)=-\sinh x$

$\cosh (-x)=\cosh x$

Οπότε:

$\tanh (-x)=-\tanh x$

$\coth (-x)=-\coth x$

$\mathrm{sech}(-x)=\mathrm{sech}x$

$\mathrm{cosech}(-x)=-\mathrm{cosech}x$

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

${\mathrm{sech}}^{-1}x={\cosh }^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$

${\mathrm{cosech}}^{-1}x={\sinh }^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$

${\coth }^{-1}x={\tanh }^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.:

$\frac{1}{2}{f}^{″}=f^3-f;f(0)=f^{\prime }(\mathrm{\infty })=0$

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους

${\sinh }^{-1}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

${\cosh }^{-1}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1$

${\tanh }^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1$

${\mathrm{sech}}^{-1}x=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right);0<x\le 1$

${\mathrm{cosech}}^{-1}x=\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|})$

${\coth }^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1$

Παράγωγοι

$\frac{d}{dx}\sinh (x)=\cosh (x)$

$\frac{d}{dx}\cosh (x)=\sinh (x)$

$\frac{d}{dx}\tanh (x)=1-{\tanh }^2(x)={\text{sech}}^2(x)=1/{\cosh }^2(x)$

$\frac{d}{dx}\coth (x)=1-{\coth }^2(x)=-{\text{csch}}^2(x)=-1/{\sinh }^2(x)$

$\frac{d}{dx}\text{csch(x)}=-\coth (x)\text{csch(x)}$

$\frac{d}{dx}\text{sech(x)}=-\tanh (x)\text{sech(x)}$

$\frac{d}{dx}\left({\sinh }^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\left({\cosh }^{-1}x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}\left({\tanh }^{-1}x\right)=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{csch}}^{-1}x\right)=-\frac{1}{\left|x\right|\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{sech}}^{-1}x\right)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\left({\coth }^{-1}x\right)=\frac{1}{1-x^2}$

Συνήθη ολοκληρώματα

$\int \sinh axdx=\frac{1}{a}\cosh ax+C$

$\int \cosh axdx=\frac{1}{a}\sinh ax+C$

$\int \tanh axdx=\frac{1}{a}\ln (\cosh ax)+C$

$\int \coth axdx=\frac{1}{a}\ln (\sinh ax)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}={\sinh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}={\cosh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{a}{\tanh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2<a^2$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{a}{\coth }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2>a^2$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}=-\frac{1}{a}{\mathrm{sech}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}=-\frac{1}{a}{\mathrm{csch}}^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+C$

Στις πιο πάνω σχέσεις, C καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά Τέιλορ

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\coth x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (Σειρά Laurent)

$\mathrm{sech}x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{x}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (Σειρά Laurent)

όπου

$B_n$ είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι

$E_n$ είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

Δείτε επίσης

• Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
• Υπερβολή (γεωμετρία)