Ανισότητα Μπερνούλι

Αρχείο:Bernoulli inequality multiple n.svg

Τα δύο μέλη της ανισότητας Μπερνούλι, $(1+\alpha {)}^{\nu }$ και $1+\nu \alpha$, για $\nu =2,3,4,5$. Παρατηρήστε ότι για $\alpha \ge -1$ η καμπύλη του πρώτου μέλους είναι άνω της ευθείας του δεύτερου μέλους. Για ζυγά $\nu$ αυτό ισχύει για όλα τα $\alpha \in ℝ$.

Η ανισότητα Μπερνούλι (αναφέρεται και ως ανισότητα Bernoulli) είναι η ανισότητα:Πρότυπο:Rp

$(1+\alpha {)}^{\nu }\ge 1+\nu \alpha ,$

για κάθε φυσικό αριθμό $\nu \in \mathbb{N}$ και πραγματικό αριθμό $\alpha \in [-1,+\mathrm{\infty })$.

Απόδειξη

Με μαθηματική επαγωγή

Θα αποδείξουμε την ανισότητα με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής για το $\nu$.

Βασικό βήμα: Για $\nu =0$, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς $(1+\alpha {)}^0=1=1+\alpha \cdot 0$.

Επαγωγικό βήμα: Ας υποθέσουμε ότι η ανισότητα ισχύει για $\nu =\kappa$, δηλαδή $(1+\alpha {)}^{\kappa }\ge 1+\kappa \alpha$, τότε για $\nu =\kappa +1$, έχουμε

$\begin{array}{cc}(1+\alpha {)}^{\kappa +1}& =(1+\alpha {)}^{\kappa }\cdot (1+\alpha )\\ & \ge (1+\kappa \alpha )\cdot (1+\alpha )\\ & =1+\kappa \alpha +\alpha +\kappa {\alpha }^2\\ & =1+(\kappa +1)\alpha +\kappa {\alpha }^2\\ & \ge 1+(\kappa +1)\alpha ,\end{array}$

χρησιμοποιώντας ότι $\kappa {\alpha }^2\ge 0$ καθώς $\kappa \ge 0$ και ${\alpha }^2\ge 0$.

Επομένως, η ανισότητα ισχύει και για $\nu =\kappa +1$, άρα και για όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Με το διωνυμικό θεώρημα (για α ≥ 0)

Για $\nu =0$, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα καθώς $(1+\alpha {)}^0=1=1+\alpha \cdot 0$.

Για $\nu \ge 1$, από διωνυμικό θεώρημα έχουμε ότι

Πρότυπο:NumBlk

όπου $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{i})$ είναι οι διωνιμικοί συντελεστές. Αφού $(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{i})\ge 0$ και $\alpha \ge 0$, δηλαδή κάθε όρος του αθροίσματος είναι μη-αρνητικός, έχουμε ότι:

Πρότυπο:NumBlk

Ενώνοντας τις σχέσεις (Πρότυπο:EquationNote) και (Πρότυπο:EquationNote), έχουμε ότι

$(1+\alpha {)}^{\nu }\ge 1+\nu \cdot \alpha .$

Επεκτάσεις

Η πρώτη γενίκευση είναι για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό $\alpha$, όταν η δύναμη $\nu$ είναι ζυγός φυσικός αριθμός (δείτε το διάγραμμα για τις περιπτώσεις $\nu =2,4$).

Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Η παρακάτω γενίκευση είναι για εκθέτες που δεν είναι κατά ανάγκη φυσικοί αριθμοί.

Η παρακάτω επέκταση είναι για όταν οι $\nu$ όροι μπορεί να είναι διαφορετικοί. Η ανισότητα αυτή σχετίζεται με την ανισότητα Weierstrass.

Θεώρημα:Πρότυπο:R Έστω $\nu \in \mathbb{N}$, ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{\nu }\in ℝ$ και $r_1,\dots ,r_{\nu }\in ℝ$. Τότε,

• $\prod _{i=1}^{\nu }(1+{\alpha }_i{)}^{r_i}\le 1+\sum _{i=1}^{\nu }{\alpha }_i{r}_i$, όταν ${\alpha }_i>-1$ και $r_i\ge 0$ για κάθε $1\le i\le \nu$,
• $\prod _{i=1}^{\nu }(1+{\alpha }_i{)}^{r_i}\le 1+\sum _{i=1}^{\nu }{\alpha }_i{r}_i$, όταν ${\alpha }_i>0$ ή ${\alpha }_i\in (-1,0)$ για κάθε $1\le i\le \nu$ και $r_i\le 0$ ή $r_i\ge 1$ για κάθε $1\le i\le \nu$.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal