Μαθηματική αναγωγή

Η μαθηματική αναγωγή ονομάζεται η μετατροπή μιας έκφρασης σε ταυτόσιμη αλλά απλούστερη μορφή. Χρησιμοποιείται σε όλους σχεδόν τους κλάδους των μαθηματικών. Στα κλάσματα, (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται και «απλοποίηση» και ονομάζεται η επανεγγραφή των όρων του κλάσματος με απλούστερους όρους. Στα ριζικά (μαθηματική) αναγωγή ονομάζεται η επανεγγραφή του περιεχομένου των ριζικών με απλούστερο τρόπο.

Στη Γραμμική Άλγεβρα η (μαθηματική) αναγωγή εφαρμόζει κανόνες για να μετατρέψει την εξίσωση, το σύστημα εξισώσεων ή τους πίνακες (μήτρες) σε ισοδύναμη αλλά απλούστερη μορφή.

Τέλος η (μαθηματική) αναγωγή αναφέρεται και στην τεχνική της ολοκλήρωσης κατά μέλη για τη διευκόλυνση του υπολογισμού τους με την επανεγγραφή τους ως έκφρασης που περιέχει απλούστερα (στον υπολογισμό) ολοκληρώματα.

Στατική Αναγωγή ή Αναγωγή Guyan

Στη δυναμική ανάλυση. η «στατική αναγωγή» ή «αναγωγή Guyan» αναφέρεται στη (μαθηματική) αναγωγή των βαθμών ελευθερίας. Η στατική αναγωγή μπορεί επίσης να εφαρμοστεί για την απλοποίηση ενός προβλήματος γραμμικής άλγεβρας. Π.χ. έστω το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{1}}$
${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{2}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{2}}$

• όπου α,β οι γνωστοί και Χ οι άγνωστοι όροι, που τοποθετούνται σε πίνακες.

Η παραπάνω μορφή γράφεται ισοδύναμα και σε μορφή εξίσωσης πινάκων:

$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}}& {\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\\ {\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}& {\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\end{array}\right]\mathrm{=}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{1}}\\ {\mathrm{\beta }}_{\mathrm{2}}\end{array}\right]$

Αν τώρα β₂=0 και χρειαζόμαστε μόνο τον όρο x₁, η εξίσωση των πινάκων μπορεί να αναχθεί στην ακόλουθη εξίσωση:

${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{\alpha }\mathrm{\nu }\mathrm{.}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{1}}$

Η αναγωγή στον όρο α_11αν. φαίνεται πώς γίνεται αν ξαναγράψουμε το αρχικό σύστημα εξισώσεων στην ακόλουθη μορφή, εφαρμόζοντας την προϋπόθεση β₂=0:

${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{1}}$
${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{2}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{0}$

Είναι φανερό τώρα ότι για τη δεύτερη (2^η) εξίσωση ισχύει:

${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{2}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{\iff }{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{1}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{-}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{2}\mathrm{2}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{\iff }{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{-}\frac{{\alpha }_{21}}{{\alpha }_{22}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}$

Αντικαθιστώντας τώρα το x₂ στην πρώτη εξίσωση, αυτή γίνεαι:

${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{-}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\frac{{\alpha }_{21}}{{\alpha }_{22}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{1}}\mathrm{\iff }\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}}\mathrm{-}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\frac{{\alpha }_{21}}{{\alpha }_{22}}\end{array}\right){\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{1}}$

Τέλος θέτοντας ${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{\alpha }\mathrm{\nu }\mathrm{.}}\mathrm{=}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}}\mathrm{-}{\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{2}}\frac{{\alpha }_{21}}{{\alpha }_{22}}$ διαμορφώθηκε η «αναγμένη» εξίσωση:

${\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{1}\mathrm{1}\mathrm{\alpha }\mathrm{\nu }\mathrm{.}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{1}}$

• Παρόμοια αναγωγή μπορεί να γίνει και αν κάποιο από τα α_ij είναι 0, ενώ φυσικά μπορεί ομοίως να αναχθεί το α₂₁ αν β₁=0.